Equacions de Bloch

Les equacions de Bloch descriuen l'interacció del vector de magnetisació M dels materials (un camp magnètic oscilante) en presència d'un camp magnètic extern constant.

La formació d'Imàgens de Resonància Magnètica (MRI per les seues sigles en anglés) està basada en estes equacions, les que es deduïxen a partir de les propietats de relaixació a l'equilibri que experimenten els núcleus de l'hidrogen de l'aigua subjectes a camps magnètics. Dits núcleus, composts en part per protones, són considerats la font generadora de les imàgens. L'abundància relativa de l'hidrogen en el cos humà, aproximadament el 90% del cos humà promig està compost de teixit acuoso, i el cridat excés d'espin, fa que estos núcleus mòvils siguen visibles per mig de la RM.

Es considera que un núcleu posseïx un moment magnètic μ i un moment angular $\hslash 𝐈$. Les dos cantitats són paraleles i llavors es pot escriure que

$\mu =\gamma \hslash 𝐈;$

a on γ és una constant. Per convenció I denota al moment angular medit en unitats de $\hslash$.

La raó de canvi del moment angular d'un sistema és igual al torque que actua sobre el sistema. El torque d'un moment magnètic μ immers en un camp magnètic H és $\mu \times 𝐇$, de modo que tenim l'equació giroscòpica

$\hslash \frac{d𝐈}{dt}=𝝁\times 𝐇;$

o

$\frac{d𝝁}{dt}=\gamma 𝝁\times 𝐇.$

La magnetisació nuclear M està definida com la suma Σ${\mu }_i$ sobre tots els núcleus en una unitat de volum. Si un sol isòtop està present, es considera un simple valor per a $\gamma$, aixina que

$\frac{d𝐌}{dt}=\gamma 𝐌\times 𝐇.$

En un camp magnètic estàtic pero intens (produït per un gran iman), la majoria d'estos protones de l'hidrogen en repòs (equilibri) precesarán llaugerament al voltant de la direcció del camp magnètic.

D'acort en la mecànica clàssica, l'interacció d'una partícula (protones), que posseïx un moment magnètic μ, immers en un camp magnètic B obedix a l'equació

$\frac{d\mu }{dt}=\gamma (\mu \times B),$

a on γ is la raó giromagnética definida a través de l'equació

$\mu =\gamma \hslash I$,

a on $I$ és el moment angular total del núcleu en unitats de $\hslash$ (la constant de Planck).

Una solució a esta equació donat un camp magnètic constant $B_0$ en la direcció $\hat{z}$, dona com resultat la precesión del vector $\mu$ al voltant del vector $B_0$ a un àngul fix i a una freqüència determinada per

${\omega }_0=\gamma B_0$,

esta última coneguda com freqüència de Larmor. Per als protones, per eixemple,

$\gamma /2\pi \approx 42.6$ MHz/Tesla.

En el cas del camp magnètic terrestres, per eixemple,

$B_0=5\times 10^{-5}$ T,

lo que correspon a una freqüència de precesión de ${\omega }_0/2\pi =2120$ Hz.

En els experiments de RM, ademés del camp magnètic $B_0$, s'aplica un camp depenent del temps i dirigit en ànguls perpendiculars al camp $B_0$.

En el cas de l'interacció entre espínes (spin), l'equació de moviment, dalt mencionada, són remplazadas per l'Equació de Bloch o Equacions de Bloch. El contingut principal de la fomulación de Bloch radica que l'interacció dels núcleus conduïx a una relaixació del vector de moment magnètic, el qual es pot descriure per mig de dos constants de decaiguda exponencial: les decaigudes llongitudinal i transversal de la magnetisació.

Vore també

• Resonància magnètica nuclear.

Referències

• E. M. Haacke, et al (1999). "Magnetic Resonance Imaging". 1st Edition, John Wiley & Sons.
• C. Kittel (1968). "Introduction to Solid State Physics". John Wiley & Sons.
• Neil W. Ashcroft and N. David Mermin, Solid State Physics (Harcourt: Orlando, 1976).
• Felix Bloch, "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern," Z. Physik 52, 555-600 (1928).
• George William Hill, "On the part of the motion of the llunar perigee which is a function of the pixen motions of the sun and moon," Acta. Math. 8, 1-36 (1886). (This work was initially published and distributed privately in 1877.)

• Ferramenta Didàctica per a l'Estudi dels Principis Físics de l'Image per Resonància Magnètica
• Gaston Floquet, "Sur els équations différentielles linéaires à coefficients périodiques," Ann. École Norm. Sup. 12, 47-88 (1883).
• Alexander Mihailovich Lyapunov, The General Problem of the Stability of Motion (London: Taylor and Francis, 1992). Translated by A. T. Fuller from Edouard Davaux's French translation (1907) of the original Russian dissertation (1892).