Equació en integrodiferencia

En matemàtiques, una equació de integrodiferencia és una relació de recurrencia en un espai funcional, de la següent forma:

$n_{t+1}(x)=\underset{\Omega }{\int }k(x,y)f(n_t(y))dy,$

a on $\{n_t\}$ és una seqüència en l'espai de funcions i $\Omega$ és el domini d'eixes funcions. En la majoria de les aplicacions, per a qualsevol $yinOmega$, $k(x,y)$ és una funció de densitat de provabilitat en $Omega$. Tinga en conte que en la definició anterior, $n_t$ pot tindre valors vectorials, en el cas dels quals cada element de $\{n_t\}$ té associada una equació de integrodiferencia de valor escalar. Les equacions de integrodiferencia s'usen àmpliament en biologia matemàtica, especialment ecologia teòrica, per a modelar la dispersió i el creiximent de les poblacions. En este cas, $n_t(x)$ és el tamany o la densitat de la població en l'ubicació $x$ en el moment $t$, $f(n_t(x))$ descriu el creiximent de la població local en l'ubicació $x$ i $k(x,y)$, és la provabilitat de moure's des del punt $y$ a el $x$, a sovint denominat núcleu de dispersió. Les equacions de integrodiferencia s'usen més comunament per a descriure les poblacions d' univoltinos, incloses, entre unes atres, moltes espècies d'artròpodes i plantes anuals. No obstant, les poblacions multivoltinas també poden modelar-se en equacions integrodiferenciales, sempre que l'organisme tinga generacions no superpostes. En este cas, $t$ no es medix en anys, sino més be l'increment de temps entre les crío.

Núcleus de convolución i velocitats d'invasió

En una dimensió espacial, el núcleu de dispersió a sovint depén solament de la distància entre la font i el destí, i pot ser escrit com $k(x-y)$. En este cas, algunes condicions naturals en f i k impliquen que existix una Velocitat de propagació per a ones d'invasió generades a partir de condicions inicials compactes. La velocitat de l'ona es calcula a sovint. estudiant l'equació linealizada

$n_{t+1}=in{t}_{-infty}^{infty}k(x-y)R{n}_t(y)dy$

a on $R=df/dn(n=0)$. Açò es pot escriure com la convolución.

$n_{t+1}=f^{\prime }(0)k*n_t$

Usant una transformació de la funció generadora de moments.

$M(s)=in{t}_{-infty}^{infty}{e}^{sx}n(x)dx$

S'ha demostrat que la velocitat d'ona crítica

$c^{*}=mi{n}_{w>0}left[frac1wlnleft(Rin{t}_{-infty}^{infty}k(s)e^{ws}dsright)right]$

Atres tipos d'equacions usades per a modelar dinàmica de població a través de l'espai inclouen reacció-difusió equacions i metapoblación equacions. No obstant, les equacions de difusió no permeten tan fàcilment l'inclusió de patrons de dispersió explícits i solament són biològicament precises per a poblacions en generacions superpostes. Les equacions de metapoblación són diferents de les equacions de integrodiferencia en el fet de que dividixen la població en pegats discrets en lloc d'un paisage continu.