Equació diferencial ordinària de Riccati

La equació de Riccati és una equació diferencial ordinària, no llineal de primer orde, inventada i desenrollada en el XVIII pel matemàtic italià Jacopo Francesco Riccati, en la finalitat d'analisar la hidrodinàmica. En 1724 va publicar una investigació multilateral de l'equació, cridada, per iniciativa de D'Alembert (1769): Equació de Riccati. L'investigació de l'equació de Riccati va convocar l'esforç de varis matemàtics: Leibniz, Goldbach, Juan Bernoulli i els seus fills Nicolás i Daniel Bernoulli, i posteriorment, a Euler.

Generalment, esta equació la presenten en la forma:

$\frac{dy}{dx}+p(x)y+q(x)y^2=f(x)$.

Integració

Esta equació es resol si prèviament es coneix una solució particular, siga $y_1(x)$.

Coneguda dita solució, es fa el canvi:

$y(x)=z(x)+y_1(x)$

i reemplaçant, s'obté:

$\frac{dy}{dx}=-p(x)y-q(x)y^2+f(x)=\frac{dz}{dx}+\frac{d{y}_1}{dx}$

és dir:

$-p(x)y-q(x)y^2+f(x)=\frac{dz}{dx}-p(x)y_1-q(x)y_1^2+f(x)$

$\Rightarrow \frac{dz}{dx}=p(x)(y_1-y)+q(x)(y_1^2-y^2)$

lo que equival a:

$\frac{dz}{dx}=-p(x)z-q(x)(z^2+2z{y}_1)$

$\Rightarrow \frac{dz}{dx}=-(p(x)+2q(x)y_1)z-q(x)z^2$

que correspon a una equació diferencial de Bernoulli.

Observació

Observe's que si es fa la substitució:

$y(x)=y_1(x)+\frac{1}{z(x)}$

proposta per Euler en la década de 1760 açò du directament a una equació llineal diferencial de primer orde.

Aplicació a l'equació Schwarziana

Una aplicació important de l'equació de Riccati és en l'equació diferencial Schwarziana de ORD orde

$S(w):=(w^{″}/w^{\prime }{)}^{\prime }-(w^{″}/w^{\prime }{)}^2/2=f$

que apareix en la teoria del mapage conforme i funcions univalentes. En este cas, les equacions estan en el domini complex i la diferenciació és sobre una variable complexa. (El derivat de Schwarzian $S(w)$ té la notable propietat de que és invariante baix les transformacions de Möbius, és dir, $S((aw+b)/(cw+d))=S(w)$ sempre que $ad-bc$ siga no zero.) La funció $y=w^{″}/w^{\prime }$ satisfà l'equació de Riccati

$y^{\prime }=y^2/2+f.$

Per lo anterior $y=-2u^{\prime }/u$ a on $u$ és una solució de el ODE llineal

$u^{″}+(1/2)fu=0.$

Ya que $w^{″}/w^{\prime }=-2u^{\prime }/u$, l'integració dona $w^{\prime }=C/u^2$ per alguna constant $C$. Per un atre costat, qualsevol atra solució independent $U$ o de la ODE llineal té un Wronskiano constant distint de zero $U^{\prime }u-U{u}^{\prime }$ que es pot prendre per a ser $C$ despuix d'escalar.

Llavors

$w^{\prime }=(U^{\prime }u-U{u}^{\prime })/u^2=(U/u{)}^{\prime }$

per a que l'equació de Schwarz tinga solució $w=U/u.$