Equació de Price

La equació de Price és una equació de covarianza que proporciona una descripció matemàtica de l'evolució i la selecció natural. L'equació de Price va ser obtinguda per George R. Price, mentres treballava en Londres en la reelaboración dels treballs de W. D. Hamilton sobre selecció per parentesc. L'equació de Price té ademés aplicacions en economia.

Suponga's que hi ha una població de n individus en la qual una determinada característica presenta variacions quantitatives. Eixos $n$ individus poden agrupar-se en funció de la cantitat de característica que cada u presenta. En eixe cas, com a màxim hi haurà $n$ grups en $n$ valors distints de la característica, i com a mínim un sol grup en un sol valor compartit d'eixa característica. Etiquete's cada grup en una $i$ de manera que el número de membres de cada grup és $n_i$ i el valor de la característica compartit per tots els membres d'eixe grup és $z_i$. Ara assumixca's que per a un valor de la característica $z_i$ ve associat una aptitut $w_i$ a on el producte $w_i{n}_i$ representa el número de descendents en la següent generació. Designe's este número de descendents del grup $i$ com ${n_i}^{\prime }$ de manera que $w_i={n_i}^{\prime }/n_i$. Siga ${z_i}^{\prime }$ la cantitat promig de característica presentada per la descendència del grup $i$. Es designa com $\Delta z_i$ a la variació en la característica per al grup i, definida per:

$\Delta z_i\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{z_i}^{\prime }-z_i$

Considere's $z$ com la cantitat promig del valor de la característica en esta població, i $z^{\prime }$ el promig del valor de la característica en la següent generació. Definixca's el canvi en la característica promig per mig de $\Delta z$. És dir,

$\Delta z\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{z}^{\prime }-z$

Observe's que açò no és el valor promig de $\Delta z_i$. Considere's ademés $w$ com l'aptitut promig d'esta població. L'equació de Price establix que:

$w\Delta z=\mathrm{cov}(w_i,z_i)+\mathrm{E}(w_i\Delta z_i),$

a on les funcions $\mathrm{E}$ i $\mathrm{cov}$ són similars a les versions mostrals dels operadors valor esperat i de la covarianza provinents de la provabilitat. Observe's que esta és en realitat una equació en diferències que relaciona el valor promig de la característica en una generació en el valor promig de la característica en la generació venidora. De fet, considerant un $w$ no nul, a sovint és útil escriure-la com

$\Delta z=\frac{\mathrm{cov}(w_i,z_i)}{w}+\frac{\mathrm{E}(w_i\Delta z_i)}{w}$

En el cas específic de que la característica $z_i=w_i$ (és dir, que l'aptitut siga la característica que nos interessa), llavors l'equació de Price reformula el teorema fonamental de Fisher de la selecció natural.

L'equació de Price és un teorema. És l'expressió d'un fet matemàtic entre certes variables, i el seu valor yacer en l'enteniment adquirit en assignar certs valors trobats en la genètica evolutiva a les variables. Per eixemple, l'afirmació "si cada parell de pardals té dos descendents, llavors entre dèu parelles de pardals hi haurà vint descendents" és l'expressió verbal d'una teorema senzilla. En realitat no transmet cap informació nova sobre els pardals sino que organisa els nostres conceptes sobre els pardals i la seua descendència. L'equació de Price és molt més sofisticada que l'anterior expressió, pero en lo primordial, és també una teorema matemàticament demostradora.