Equació de Colebrook-White

La Equació de Colebrook-White és una fòrmula usada en hidràulica per al càlcul del factor de fricció de Darcy $\lambda$ també conegut com coeficient de rozamiento. Es tracta del mateix factor $f$ que apareix en l'equació de Darcy-Weisbach.

L'expressió de la fòrmula de Colebrook-White (1937, 1939) és la següent:

$\frac{1}{\sqrt{\lambda }}=-2{\log }_{10}(\frac{k/D}{3,7}+\frac{2,51}{Re\sqrt{\lambda }})$

Símbol	Nom
$Re$	Número de Reynolds
$k/D$	Rugosidad relativa
$\lambda$	Factor de fricció

El camp d'aplicació d'esta fòrmula es troba en la zona de transició de fluix laminar a fluix turbulento i fluix turbulento. Per a l'obtenció de $\lambda$ és necessari l'us de métodos iterativos. Una atra forma més senzilla i directa d'obtindre el valor de $\lambda$ és fer us del diagrama de Moody.

Per al cas particular de canonades planes la rugosidad relativa, és dir la relació entre la rugosidad en les parets de la canonada i el diàmetro de la mateixa, és molt chicotet en lo que el terme $k/D$ és molt chicotet i pot despreciar-se el primer sumant situat dins del paréntesis de l'equació anterior. Quedant en este cas particular l'equació del següent modo:

$\frac{1}{\sqrt{\lambda }}=2{\log }_{10}\left(Re\sqrt{\lambda }\right)-0,8$

Per a números de Reynolds molt grans el segon sumant situat dins del logaritmo de l'equació de Colebrook-White és despreciable. En este cas la viscosidad no influïx en la pràctica a l'hora de determinar el coeficient de fricció, este únicament depén de la rugosidad relativa $k/D$ de la canonada. Açò es manifesta en el diagrama de Moody en que en la curva per a valors elevats de $Re$ es fan rectes horisontals.

Aproximacions conegudes per al càlcul del factor de fricció

Per a la solució de l'equació implícita de Colebrook-White s'han plantejat diversos tècniques dividides en dos tipos principalment

Métodos iterativos implícits.

Existixen vàries formes de solucionar l'equació de Colebrook-White de forma iterativa pero es presenta ací solament l'algoritme de Newton-Raphson.

Solució implícita per Iteración de Método de Newton-Raphson

L'equació es planteja en un procés iterativo en $\lambda$.

Primer és necessari supondre un valor de $\lambda =0.001$

Calcular:

$x=\frac{1}{{\lambda }^{0.5}}$

$a=\frac{k/D}{3.70}$

$b=\frac{2.51}{Re}$

$f(x)=-2.0\cdot lo{g}_{10}(a+b\cdot x)$

$f^{\prime }(x)=\frac{-2.0}{ln(10)}\cdot (\frac{b}{a+b\cdot x})$

$\Delta =\frac{f(x)-x}{f^{\prime }(x)-1}$

Si $\Delta >1e^{-8}$ llavors

$x=x-\Delta$

Repetir fins a conseguir convergència en $x$.

Per últim calcular $\lambda$ a partir de $x$.

$\lambda =\frac{1}{x^2}$

A on $\lambda$ està en funció de:

Símbol	Nom	Unitat
$k$	Rugosidad de la canonada	(mm) o (pulg)
$D$	Diàmetro	(mm) o (pulg)
$Re$	Número de Reynolds

Métodos directes, explícits.

Existixen moltes equacions explícites a l'equació de Colebrook-White com:

• Moody (1944, 1947),

• Wood (1966),

• Eck (1973),

• Churchill (1973),

• Swamee & Jain (1976),

• Chen (1979),

• Round (1980),

• Barr (1981),

• Zigrang and Sylvester (1982),

• Haaland (1983),

• Serghides (1984),

• Manadilli (1997),

• Romeo et al (2002),

• Sonnad and Goudar (2006),

• Buzelli (2008),

• Avci and Karagoz (2009),

• Papaevangelou et al. (2010) and

• Brkic (2011).

No obstant deu recordar-se que estes equacions corresponen a aproximacions i regressió de valors calculats a partir de métodos implícits com el de Newton-Raphson. Solament l'equació de Avci and Karagoz (2009) ha segut desenrollada a partir de senyes de laboratori recents coneguts com "Princeton University super-pipe data".

Solució explícita en l'equació de Goudar–Sonnad

L'equació de Goudar és una de les aproximacions per a trobar el factor de fricció $\lambda$ de Darcy–Weisbach, en canonades circulares; la qual ha segut calculada de l'equació de Colebrook–White. Tenint-se:

$a=\frac{2}{\ln (10)}$

$b=\frac{k/D}{3.7}$

$d=\frac{\ln (10)Re}{5.02}$

$s=bd+\ln (d)$

$q=s^{s/(s+1)}$

$g=bd+\ln \frac{d}{q}$

$z=\ln \frac{q}{g}$

$D_{LA}=z\frac{g}{g+1}$

$D_{CFA}=D_{LA}(1+\frac{z/2}{(g+1{)}^2+(z/3)(2g-1)})$

$\frac{1}{\sqrt{\lambda }}=a[\ln \left(\frac{d}{q}\right)+D_{CFA}]$

A on λ està en funció de:

• Rugosidad de la canonada, $k$ (mm, polzada)
• Diàmetro, $D$ (mm, polzada)
• Número de Reynolds, $Re$ (adimensional).

Discussió sobre l'error de les aproximacions

Brkic, va trobar que les aproximacions en menor error màxim (<0.14%) són les de Romeo-Royo-Monzon, Buzelli, Serghides, Zigrang-Silvester. Mentres que de l'atre costat de la balança, les aproximacions en major error relatiu (>8.0%) varen ser les de Eck, Round, Moody, Wood, Rao-Kumar.

Un resultat interessant d'este treball radica que l'aproximació més usada per a aproximar l'equació de Colebrook sol ser la de Swamee i Jain, pero esta presenta un error màxim relatiu superior al 2.0%.