Domineering

Eixemple de joc de Domineering jugat en un tauler de 5x5, en el jugador horisontal ("H" o "Dreta") fent el primer moviment i perdent en la 13.ª ronda de joc.

Domineering (també cridat Stop-Gate o Crosscram) és un joc matemàtic que es pot jugar en qualsevol colecció de quadrats en un full de paper cuadriculado. Per eixemple, es pot jugar en un quadrat de 6 × 6, un rectàngul, un polyomino completament irregular o una combinació de qualsevol número de tals components. Dos jugadors tenen una colecció de fiches de va dominar que coloquen successivament en la cuadrícula, cobrint els quadrats. Un jugador coloca les fiches verticalment, mentres que l'atre les coloca horisontalment. (Tradicionalment, estos jugadors es denominen "Esquerra" i "Dreta", respectivament, o "V" i "H". En este artícul s'utilisen abdós convencions). Com en la majoria dels jocs de teoria de jocs combinatoris, el primer jugador que no pot moure's pert.

Domineering és un joc partisano, en el que els jugadors usen diferents peces: la versió imparcial del joc és Cram.

Eixemples bàsics

Quadro únic

Aparte del joc buit, a on no hi ha cuadrícula, el joc més simple és una sola caixa.

En este joc, clarament, cap jugador pot moure's. Ya que és una victòria del segon jugador, és un joc zero.

Files horisontals

Este joc és una cuadrícula de 2 per 1. Existix una convenció d'assignar al joc un número positiu quan l'Esquerra està guanyant i un negatiu quan la Dreta està guanyant. En este cas, Esquerra no té moviments, mentres que Dreta pot jugar un va dominar per a cobrir tot el tauler, sense deixar res, lo que clarament és un joc de zero. Per tant, en notació numèrica surreal, este joc és {| 0} = −1. Açò té sentit, ya que esta cuadrícula és una ventaja d'1 moviment per a Dreta.

Este joc també és {| 0} = −1, perque una sola casella no es pot jugar.

Esta cuadrícula és el primer cas d'elecció. La dreta podria jugar les dos caselles de l'esquerra, deixant -1. Les caselles de la dreta també deixen -1. També podria jugar les dos caselles del mig, deixant dos caselles individuals. Esta opció deixa 0 + 0 = 0. Per lo tant, este joc es pot expressar com {| 0, −1}. Est és -2. Si este joc es juga junt en atres jocs, estos són dos moviments lliures per a Dreta.

Columnes verticals

Les columnes verticals s'evaluen de la mateixa manera. Si hi ha una fila de 2 n o 2 n +1 caselles, conta com a - n . Una columna de tal tamany conta com a + n .

Cuadrículas més complexes

Est és un joc més complex. Si l'esquerra va primer, qualsevol moviment deixa una cuadrícula d'1 × 2, que és +1. La dreta, per un atre costat, pot moure's a -1. Per tant, la notació numèrica surreal és {1 | −1}. No obstant, este no és un número surrealiste perque 1> −1. Est és un joc pero no un número. La notació per a açò és ± 1, i és un joc calent, perque cada jugador vol moure's ací.

Esta és una cuadrícula de 2 × 3, que és encara més complexa, pero, de la mateixa manera que qualsevol joc de Domineering, es pot desglossar observant quins són els distints moviments per a Esquerra i Dreta. L'esquerra pot prendre la columna de l'esquerra (o, de manera equivalent, la columna de la dreta) i moure's a ± 1, pero és clarament una millor idea dividir el mig, deixant dos jocs separats, cada u en un valor de +1. Per tant, el millor moviment de Left és +2. La dreta té quatre moviments "diferents", pero tots deixen la següent forma en alguna rotació:

Este joc no és un joc calent (també cridat joc fret), perque cada moviment lastima al jugador que ho fa, com podem vore en examinar els moviments. L'esquerra pot moure's a -1, la dreta pot moure's a 0 o +1. Per lo tant, este joc és {−1 | 0,1} = {−1 | 0} = −½.

La nostra cuadrícula de 2 × 3, llavors, és {2 | −½}, que també es pot representar pel valor mig, ¾, junt en la bonificació per moure's (la "temperatura"), 1¼, aixina: $\left\{2|-\frac{1}{2}\right\}=\frac{3}{4}\pm \frac{5}{4}$

Joc d'alt nivell

El Mathematical Sciences Research Institute va celebrar un torneig de Domineering, en un premi de $ 500 per al guanyador. Este joc es va jugar en un tauler de 8 × 8. El guanyador va ser el matemàtic Donen Calistrate, que va derrotar a David Wolfe en la final. El torneig es detalla en Games of No Chance de Richard J. Nowakowski (p. 85).