Distribució de temps de residència

La distribució de temps de residència (RTD) d'un reactor químic en un decorregut, és una distribució de provabilitat que descriu la cantitat de temps que un element diferencial d'un decorregut pot passar dins d'un reactor. Els ingeniers químics usen el RTD per a caracterisar el mesclat i fluix dins d'un reactor i aixina comparar la seua conducta en els seus models teòrics ideals corresponents. Açò és útil, no solament en la solució de problemes i detecció de curt-circuits en reactors existents, també és útil per a estimar la eficiència de les reaccions involucrades i en el disseny de futurs reactors.

El concepte va ser propost per MacMullin i Weber en 1935, pero no va ser usat intensivamente fins que P.V. Danckwerts va analisar un número important de RTDs en 1953.

Teoria

Archiu:Typical CSTRRTDcurve.svg

Curva RTD per a un reactor ben mesclat

Està basada en 3 suposicions principals:

• Sistema en estat estacionario.

• Transport en l'entrada i eixida té lloc sol per advección.

• El decorregut és incompresible.

L'última suposició no és requerida pero un decorregut compresible és més difícil de modelar i manipular, ademés de ser menys comú en processos industrials. Es requerix un nivell de complexitat superior per a modelar reactors heterogéneus a on el RTD descriu el fluix de cada fase, per eixemple en els sistemes de borboteo.

La funció de distribució de temps de residència és representada per una distribució d'edat d'eixida, $E(t)$. La funció $E(t)$ està normalisada i es definix matemàticament:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}E(t)dt=1.$

La fracció del decorregut que té una duració de temps $t$ dins del reactor, està donada pel valor de $E(t)dt$..

La fracció del decorregut que deixa el reactor en una edat inferior a $t_1$ és

$\underset{0}{\overset{t_1}{\int }}E(t)dt.$

La fracció del decorregut que deixa el reactor en una edat major que $t_1$ és

$\underset{t_1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}E(t)dt=1-\underset{0}{\overset{t_1}{\int }}E(t)dt.$

El temps de residència promig es calcula en una equació de moments:

$\overline{t}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}t\cdot E(t)dt.$

Si no hi ha zones mortes o estancament dins del reactor, llavors $\overline{t}$ serà igual al temps de residència teòric $\tau$, este es definix com la relació entre el volum del reactor i el fluix volumètric d'entrada del decorregut:

$\tau =\frac{V}{v}.$

Equacions de moments de grau superior poden proveir informació sobre la conducta de la funció $E(t)$. Per eixemple, el segon moment central indica la varianza $({\sigma }^2)$, El grau de dispersió comparat en la mija.

${\sigma }^2=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(t-\overline{t}{)}^2\cdot E(t)dt$

El tercer moment central indica el grau d'asimetria de la distribució $E(t)$ i el quart moment central indica el grau de curtosis present.

Es pot definir una distribució integral d'edat $I(t)$ que descriu el contingut del reactor. La seua definició és un tant similar a $E(t)$: la fracció de decorregut dins del reactor en una edat $t$ és $I(t)dt$. Demostrat per Danckwerts, la relació entre $E(t)$ i $I(t)$ pot ser trobada per mig d'un balanç de massa:

$I(t)=\frac{1}{\tau }(1-\underset{0}{\overset{t}{\int }}E(t)dt)E(t)=-\tau \frac{dI(t)}{dt}$

Determinació experimental de el RDT

El RTD és medit introduint un trazador no reactiu dins del sistema a l'entrada. la concentració del trazador canvia concorde a una funció coneguda i la seua resposta es troba per mig de la medició de la concentració del trazador a l'eixida. El trazador electe no deu modificar les propietats físiques del decorregut (densitat, viscosidad) i l'introducció del trazador no deu modificar les condicions hidrodinàmiques.

En general, el canvi en la concentració del trazador serà entre una funció pulse o una funció escaló. És possible usar atres funcions pero es requerixen més càlculs per a deconvolucionar la curva RTD, I(t).

Experiment en pols

El método requerix l'introducció d'un volum molt chicotet del trazador molt concentrat a l'interior del reactor, tal que la seua funció s'aproxime a la funció Dirac delta. Degut a que una funció infinitament talla no pot ser produïda, esta sol ser produïda de tal modo que siga molt més chicoteta que el temps de residència del recipient. Si una massa del trazador, M, és introduïda dins del recipient de volum V i un temps de residència esperat $\tau$, la curva resultant de $C(t)$ pot ser transformada en una curva de temps de residència adimensional per mig de la següent relació:

$E(t)=\frac{C(t)}{\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}C(t)dt}$

Experiment en escaló

En un experiment en escaló la concentració del trazador a l'entrada canvia abrupta-ment en un temps donat t des de 0 a $C_0$. La concentració del trazador a l'eixida es medix i normalisa a la concentració $C_0$ per a obtindre la curva no-dimensional F(t) els valors de la qual ronden entre 0 a 1:

$F(t)=\frac{C(t)}{C_0}.$

Les respostes d'eixida de la funció escaló i funció pulse d'un reactor es relacionen matemàticament:

$F(t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}E(t)dtE(t)=\frac{dF(t)}{dt}$

El valor del temps de residència mig i la varianza pot ser deduïts de la funció $F(t)$:

$\bar{t}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}t\cdot E(t)dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}tdF(t)=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}td(1-F(t))=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(1-F(t))dt$

${\sigma }^2=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(t-\bar{t}{)}^2\cdot E(t)dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(t-\bar{t}{)}^{2}dF(t)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{2}dF(t)-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{t}}=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}t(1-F(t))dt-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{t}}$

Un experiment en escaló freqüentment és més senzill de realisar que un experiment en pols, pero tendix a difuminar alguns dels detalls que una resposta en pols sol mostrar. És fàcil integrar numèricament un experiment en pols i sol obtindre's un estimat d'alta calitat, lo contrari ocorre si es vol obtindre una funció inversa per mig de diferenciació degut a que qualsevol soroll en la medició de la concentració s'amplifica per la diferenciació numèrica.