Distància relativa entre dos camps escalares

Inspirat en l'error relatiu entre dos cantitats, l'operador ${\Delta }_D$, relaciona dos camps escalares no negatius, que han de ser integrables en el sentit de Riemann en un conjunt $D$ que se supon obert conexo. L'operador ${\Delta }_D$ permet evaluar el comportament d'una aproximació analítica front a una solució numèrica que siguen solucions d'una equació diferencial ordinària. La principal ventaja d'utilisar ${\Delta }_D$ en lloc d'atres distàncies donades en la lliteratura és que el valor donat per ${\Delta }_D$ té una interpretació senzilla: un valor propenc a 0 significa relativament prop, pero un valor propenc a 1 significa molt lluntà.

Definició: Siga $S(D)$ el conjunt dels camps escalares no negatius, integrables en $\text{D}\subseteq {\text{R}}^n$, sent $D$ un conjunt obert conexo. Si $f,g\in S(D)$ es definix

${\Delta }_D(f,g)=\{\begin{array}{cc}\frac{\underset{D}{\int }|f\overrightarrow{(}x)-g\overrightarrow{(}x)|dV}{\underset{D}{\int }|f\overrightarrow{(}x)+g\overrightarrow{(}x)|dV}& \text{si f o g}\ne 0\\ 0\text{ si f=g=0}\end{array}$ sent $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,\mathrm{...},x_n)\text{ y }dV=d{x}_1\cdot d{x}_2\cdot \mathrm{...}\cdot d{x}_n$ (1).

De la definició es deduïx que

$\mathrm{\forall }f\in S(D),f\ne 0⟶{\Delta }_D(f,0)=1$ i

$\mathrm{\forall }f\in S(D),f\ne 0⟶{\Delta }_D(f,f)=0$

A partir de la definició es poden demostrar les següents teoremes

Teorema 1

$\mathrm{\forall }f,g\in S(D)$ es complix que $0⩽{\Delta }_D(f,g)⩽1$

Teorema 2

$S(D)$ en la distància ${\Delta }_D(f,g)$ definida anteriorment en (1), és un Espai mètric, és dir complix les següents propietats

2. ${\Delta }_D(f,g)\ge 0,\mathrm{\forall }f,g\in S(D)$
4. ${\Delta }_D(f,g)=0,\mathrm{\forall }f,g\in S(D)⟷f=g\text{ en }D$
6. ${\Delta }_D(f,g)={\Delta }_D(g,f),\mathrm{\forall }f,g\in S(D)$
8. ${\Delta }_D(f,g)⩽{\Delta }_D(f,h)+{\Delta }_D(g,h),\mathrm{\forall }f,g,h\in S(D)$

Aplicació a l'aproximació per a una EDO

Considerem una equació diferencial ordinària depenent d'un paràmetro $ϵ$, $F(ϵ,x_1,x_2,,\mathrm{...},x_n,y,\frac{\partial y}{\partial x_1},\frac{\partial y}{\partial x_2},\mathrm{....},\frac{\partial y}{\partial x_n},\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x_1\partial x_1},\mathrm{....}\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x_1\partial x_n},\mathrm{...})=0$ (1)

subjecta a les següents condicions de contorn $y({\overrightarrow{x}}_s)=y_s,{\overrightarrow{x}}_s\in \text{D}$ Per a cada valor de $ϵ$ podem calcular una solució numèrica, que dependrà de $\overrightarrow{x}$ i de $ϵ$ i que anem a cridar $y_{num}=y_{num}(\overrightarrow{x},ϵ)$.

Si l'equació diferencial és regular, podem obtindre $y_{num}$ en qualsevol precisió desijada. Per una atra part considerem el desenroll en série de Taylor, de F, sobre el paràmetro $ϵ$ entorn al punt ${ϵ}_0$: $F_n=\sum _{i=0}^n\frac{\partial y^k}{\partial x^k}{|}_{ϵ={ϵ}_0}\frac{(ϵ-{ϵ}_0{)}^k}{k!}$

Substituint $F\text{ por }{F}_n$ en (1), s'obté una equació diferencial ordinària $F_n(ϵ,x_1,x_2,,\mathrm{...},x_n,y,\frac{\partial y}{\partial x_1},\frac{\partial y}{\partial x_2},\mathrm{....},\frac{\partial y}{\partial x_n},\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x_1\partial x_1},\mathrm{....}\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x_1\partial x_n},\mathrm{...})=0$ (2)

que deu ser similar a l'original (1) per al paràmetro $ϵ$ propenc a ${ϵ}_0$ Considerant les mateixes condicions de contorn, a voltes, per a certs órdens d'aproximació n en el desenroll de Taylor, podem resoldre (2) exactament $y_n=y_n(\overrightarrow{x},ϵ)$

La pregunta que sorgix és qué tan bona és l'aproximació analítica $y_n$ sobre la $y_{num}$ solució numèrica, en $D$, per a un valor donat de $ϵ$. Per a este propòsit, es pot utilisar la distància definida en (1) de la següent manera

${\Delta }_n(ϵ)={\Delta }_D(y_{num},y_n)$

en a on hem supost que $y_{num}\text{ y }{y}_n$ són camps escalares no negatius, en la finalitat de poder aplicar (1). Note's també que ara podem dibuixar ${\Delta }_n(ϵ)$ per a valors de $ϵ$ propencs a ${ϵ}_0$ i evaluar la bondat de l'aproximació analítica n-ésima $y_n$ sobre la solució $y_{num}$