Criteri de condensació de Cauchy

En matemàtiques, el Criteri de condensació de Cauchy és una prova de convergència per a una série infinita, que pren el seu nom d'Augustin Louis Cauchy, matemàtic francés. Siga

$a_n$

una série monòtona de números positius decreixents, llavors

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$

convergix si i només si la série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^n{a}_{2^n}$ convergix. Per una atra part, en este cas tenim

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n)\le \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^{n}f(2^n)\le 2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}f(n).$

Una visió geomètrica és que nos aproximem a la suma de trapezis en cada $2^n$. Una atra explicació és que, com en l'analogia entre les sumes finitas i integrals, la "condensació" dels térmens és anàloga a una substitució d'una funció exponencial. Açò es fa més evident en eixemples com

$f(n)=n^{-a}(\log n{)}^{-b}(\log \log n{)}^{-c}.$

Ací les séries definitivament convergixen per a un a > 1, i divergix para a < 1. Quan a = 1, el criteri de transformació essencialment dona la série

$\sum n^{-b}(\log n{)}^{-c}$

El logaritmo 'canvia cap a l'esquerra'. Aixina llavors para a = 1, tenim convergència per a b > 1, divergència per a b < 1. Quan b = 1 el valor de c és necessari.

Demostració

Siga f(n) positiva, una seqüència decreixent de número real. Per a simplificar la notació, escriurem a_n = f(n). Investigarem les séries $a_1+a_2+a_3+\cdots$. El criteri de condensació seguix de l'observació si reunim els térmens de la série en grups de llongitut $2^n$, cada u d'estos grups serà menor que $2^n$ a $2^n{a}_{2^n}$ per monotonia. Observem:

$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n& =a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7+\cdots +a_{2^n}+a_{2^n+1}+\cdots +a_{2^{n+1}-1}+\cdots \\ & =a_1+\underset{\le a_2+a_2}{\underbrace{a_2+a_3}}+\underset{\le a_4+a_4+a_4+a_4}{\underbrace{a_4+a_5+a_6+a_7}}+\cdots +\underset{\le a_{2^n}+a_{2^n}+\cdots +a_{2^n}}{\underbrace{a_{2^n}+a_{2^n+1}+\cdots +a_{2^{n+1}-1}}}+\cdots \\ & \le a_1+2a_2+4a_4+\cdots +2^n{a}_{2^n}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^n{a}_{2^n}.\end{array}$

Usem el fet que la seqüència a_n no és creixent, per lo tant $a_n\le a_m$ sempre que $n\ge m$. La convergència de la série original ara seguix d'una directa comparació a esta série "condensada". Per a vore la convergència de la série original implica la convergència d'esta última, de manera similar posem,

$\begin{array}{cc}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^n{a}_{2^n}& =\underset{\le a_1+a_1}{\underbrace{a_1+a_2}}+\underset{\le a_2+a_2+a_3+a_3}{\underbrace{a_2+a_4+a_4+a_4}}+\cdots +\underset{\le a_{2^n}+a_{2^n}+a_{(2^n+1)}+a_{(2^n+1)}+\cdots +a_{(2^{n+1}-1)}}{\underbrace{a_{2^n}+a_{2^{n+1}}+\cdots +a_{2^{n+1}}}}+\cdots \\ & \le a_1+a_1+a_2+a_2+a_3+a_3+\cdots +a_n+a_n+\cdots =2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.\end{array}$

Tenint una convergència, novament per comparació directa. S'observa que s'obté un estimat

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\le \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{2}^n{a}_{2^n}\le 2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$.

Referències

• Bonar, Khoury (2006). Real Infinite Séries. Mathematical Association of America. ISBN 0883857456.