Conjunts causals

Archiu:CausalSet180Geodesic.png

Conjunts causals

Els conjunts causals suponen una forma d'aproximació a una teoria quàntica de la gravetat proposta per Rafael Sorkin i colaboradors en 1987, si ben hi havia propostes prèvies de ’t Hooft i de Myrheim. en 1978.

Els seus orígens descansen en la tradició de vore l'orde causal d'un espaciotiempo com la seua estructura més fonamental. Les idees clau de la seua formulació són: l'espai-temps és discret. D'esta manera el espaciotiempo continu es concep com una descripció efectiva d'alguna cosa més profunt. Sobre el conjunt discret dels punts del espaciotiempo està definida una relació d'orde parcial. Esta relació d'orde abstrau la relació de causalitat que es dona entre els punts d'un espaciotiempo ordinari.

Una volta axiomatizadas estes idees, es produïx una nova estructura discreta en la que es pretén basar una teoria de la gravetat quàntica. Posteriorment s'intenta recuperar, a partir d'esta estructura, l'estructura geomètrica del espaciotiempo continu.

Definició formal

Un conjunt causal és un conjunt $C$ en una relació d'orde parcial $\prec$ que és:

• Irreflexiva: $x\nprec x\mathrm{\forall }x\in C$
• Transitiva: $x\prec y\prec z$ implica $x\prec z\mathrm{\forall }x,y,z\in C$
• Localment finita:$$ card$(\{y\in C|x\prec y\prec z\})<\mathrm{\infty }\mathrm{\forall }x,z\in C$.

Ací card($A$) denota el cardinal del conjunt $A$.

Matemàticament, els dos primers axioma són els que satisfà qualsevol relació d'orde parcial estricte.