Aplicació de l'equació de Poisson en macromolécula

En el estudi de les macromolécula és possible fer us d'equacions utilisades habitualment en la dinàmica de decorreguts o en l'electromagnetisme; una d'estes és la equació de Poisson, que és possible obtindre a partir de la llei de Gauss en forma diferencial:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

en:

$\overrightarrow{E}=-\mathrm{\nabla }V$

Reemplaçant, s'obté:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{\text{𝐕}}=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

la qual és l'equació de Poisson, si es pren en una regió del camp a on la densitat de càrrega $\rho$ és zero:

${\mathrm{\nabla }}^2\mathbf{\text{𝐕}}=0$

l'equació del qual és l'equació de Laplace.

Una de les característiques del operador laplaciano és ser invariante, perque és el resultat de dos operacions successives invariantes. Per eixemple, el laplaciano d'un potencial electrostàtic és zero en regions a on hi ha càrrega espacial zero. Aixina, el problema general es remonta a trobar el potencial electrostàtic V corresponent a una distribució de càrrega donada i trobar una solució de l'equació de Laplace o de Poisson que satisfaça les condicions de contorn.

Condicions de contorn

Potencial: en la frontera entre 2 mijos diferents el potencial deu ser continu. Una discontinuïtat implicaria una intensitat infinitament gran de camp elèctric, lo que és impossible en la física. El potencial deu ser zero en l'infinit si la distribució de càrrega està estesa de manera finita, i deu ser constant a través d'algun conductor en tot el temps que les càrregues estiguen en repòs.

Moment dipolar induït: molècules polarisades o en un diminut desplaçament de les càrregues positives (+) i negatives (-)

Equilibri de polarisació: deu existir alliniació neta.

Els models electrostàtics assumits per a estudiar les macromolécula estan basats en l'equació de Poisson. Les dificultats que açò impliquen tenen que vore en el fet de que, tenint els models macromoleculares, es requerixen els métodos per a aplicar l'equació de Poisson. Si les càrregues es representen explícitament com a formes puntuals, i les seues interaccione s'efectuen en l'espai lliure, es pot aplicar com a solució la llei de Coulomb:

$\varphi (r)=\sum \frac{qi}{|r-r_1|}$

a on la sumatoria s'efectua sobre totes les i, el terme r₁ és la posició i el qi la magnitut de la i+n carregues puntuals.

En atres casos pot succeir que si la distribució de càrrega que genera el potencial està present en un mig complex, és possible usar promijos espacials per a quantificar la resposta del mig als camps generats per la distribució de càrrega.

Si el dielèctric varia en l'espai, llavors l'equació de Poisson pren la forma:

$\mathrm{\nabla }\cdot \epsilon (\mathbf{\text{𝐫}})\mathrm{\nabla }\varphi (\mathbf{\text{𝐫}})=-4\pi \rho (\mathbf{\text{𝐫}})$

ya que tal distribució de càrrega pot estar en un mig complex es pot promediar la resposta del mig davant eixe camp elèctric per mig dels moments dipolares.