Adimensionalización i escalamiento de les equacions de Navier-Stokes

En mecànica de decorreguts, la no dimensionalización de les equacions de Navier-Stokes és la conversió de l'equació de Navier-Stokes a una forma adimensional. Esta tècnica pot facilitar l'anàlisis del problema en qüestió i reduir el número de paràmetros lliures. El tamany chicotet o gran de certs paràmetros adimensionales indica l'importància de certs térmens en les equacions per al fluix estudiat. Açò pot oferir possibilitats de despreciar térmens en certes zones del fluix considerat. Ademés, les equacions no dimensionals de Navier-Stokes poden ser beneficioses si es plantegen situacions físiques similars, és dir, problemes en els que els únics canvis són els de les dimensions bàsiques del sistema.

El escalamiento de l'equació de Navier-Stokes es referix al procés de selecció de les escales espacials adequades - per a un determinat tipo de fluix - que s'utilisaran en la no dimensionalización de l'equació. Com les equacions resultants deuen ser adimensionales, cal trobar una combinació adequada de paràmetros i constants de les equacions i característiques del fluix (domini). Com a resultat d'esta combinació, es reduïx el número de paràmetros que deuen analisar-se i els resultats poden obtindre's en térmens de les variables escalades.

Necessitat de adimensionar i escalar

Ademés de reduir el número de paràmetros, l'equació no dimensionada ajuda a obtindre una major comprensió del tamany relatiu dels diversos térmens presents en l'equació. Despuix d'una adequada selecció d'escales per al procés de no dimensionament, açò conduïx a l'identificació dels térmens menuts en l'equació. El despreci dels térmens més menuts front als més grans permet simplificar la situació. Per al cas del fluix sense transferència de calor, l'equació no dimensionada de Navier-Stokes depén només del Número de Reynolds i per lo tant totes les realisacions físiques de l'experiment relacionat tindran el mateix valor de variables no dimensionadas per al mateix Número de Reynolds.

El escalamiento ajuda a comprendre millor la situació física, en la variació en les dimensions dels paràmetros involucrats en l'equació. Açò permet realisar experiments en prototips de menor escala sempre que els efectes físics que no estiguen inclosos en l'equació no dimensionada no siguen importants.

Equació de Navier-Stokes no dimensionada

L'equació incompresible del moment de Navier-Stokes s'escriu de lasiguiente manera:

$\frac{\partial 𝐮}{\partial t}+(𝐮\cdot \mathrm{\nabla })𝐮=-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p+\nu {\mathrm{\nabla }}^2𝐮+𝐠.$

a on ρ és la densitat; p és la pressió; ν és la viscosidad cinemàtica; o és la velocitat de fluix i g és el camp d'acceleració del cos.

L'equació anterior pot ser no dimensionada per mig de la selecció de les escales apropiades com s'indica a continuació:

Escala	variable adimensional
Llongitut L	${𝐫}^{*}=\frac{𝐫}{L}$ and ${\mathrm{\nabla }}^{*}=L\mathrm{\nabla }$
Velocitat de fluix O	${𝐮}^{*}=\frac{𝐮}{U}$
Temps L/O	$t^{*}=\frac{t}{L/U}$
Pressió: no hi ha una selecció natural per a l'escala de pressió.	A on els efectes dinàmics són dominants, és dir, els fluix són d'alta velocitat $p^{*}=\frac{p}{\rho U^2}$ A on els efectes viscosos són dominants, és dir, els fluix d'arrastre $p^{*}=\frac{pL}{\mu U}$

Substituint les escales s'obté l'equació no dimensional:

a on Fr és el número de Froude i Re és el número de Reynolds

Fluix en una gran viscosidad

Per als fluix en els que les forces viscoses són dominants, és dir, són fluix llents en gran viscosidad, s'utilisa una escala de pressió viscosa μO/L. En absència d'una superfície lliure, l'equació obtinguda és:

Règim de Stokes

• Vore també: Fluix de Stokes

El escalamiento de l'equació (1) pot fer-se en un fluix a on el terme d'inèrcia és menor que el terme viscós, és dir, quan Re → 0; llavors els térmens d'inèrcia poden ser despreciats, deixant l'equació d'un moviment d'arrastre

$Re\frac{\mathrm{D}{𝐮}^{\mathbf{*}}}{\mathrm{D}{t}^{*}}=-{\mathrm{\nabla }}^{*}{p}^{*}+{\mathrm{\nabla }}^{*2}{𝐮}^{\mathbf{*}}.$

Tals fluix tendixen a tindre influència de l'interacció viscosa a grans distàncies d'un objecte. A un baix número de Reynolds la mateixa equació es reduïx a una equació de difusió, cridada equació de Stokes:

$-{\mathrm{\nabla }}^{*}{p}^{*}+{\mathrm{\nabla }}^{*2}{𝐮}^{\mathbf{*}}=\mathrm{𝟎}.$

Règim de Euler

De la mateixa manera, si Re → ∞ és dir, quan les forces d'inèrcia dominen, la contribució viscosa pot ser despreciada. L'equació no dimensionada de Euler per a un fluix invisible és:

$\frac{\partial {𝐮}^{\mathbf{*}}}{\partial t}+({𝐮}^{\mathbf{*}}\cdot {\mathrm{\nabla }}^{*}){𝐮}^{\mathbf{*}}=-{\mathrm{\nabla }}^{*}{p}^{*}.$

Cas de densitat variable per la concentració i la temperatura

La variació de la densitat deguda tant a la concentració com a la temperatura és un camp d'estudi important en la doble convecció difusiva. Si es tenen en conte els canvis de densitat deguts tant a la temperatura com a la salinitat, llavors s'afigen alguns térmens més al component Z del moment, com seguix:

$\frac{\partial W}{\partial t}+U\frac{\partial W}{\partial X}+W\frac{\partial W}{\partial Z}=-\frac{1}{{\rho }_o}\frac{\partial p_d}{\partial Z}+v(\frac{{\partial }^{2}W}{\partial X^2}+\frac{{\partial }^{2}W}{\partial Z^2})-g({\beta }_s\mathrm{\nabla }S-{\beta }_T\mathrm{\nabla }T)$

A on S és la salinitat del decorregut, β_T és el coeficient d'expansió tèrmica a pressió constant i β_S és el coeficient d'expansió salina a pressió i temperatura constants.

No es dimensiona usant l'escala:

$S^{*}=\frac{S-S_B}{S_T-S_B}$ and $T^{*}=\frac{T-T_B}{T_T-T_B}$

es té

$\frac{\partial W^{*}}{\partial t^{*}}+U^{*}\frac{\partial W^{*}}{\partial X^{*}}+W^{*}\frac{\partial W^{*}}{\partial Z^{*}}=-\frac{\partial p_d}{\partial Z^{*}}+Pr(\frac{{\partial }^2{W}^{*}}{\partial X^{*2}}+\frac{{\partial }^2{W}^{*}}{\partial Z^{*2}})-R{a}_{s}P{r}_{s}S+R{a}_{T}P{r}_{T}T$

a on S_T, T_T representen la salinitat i la temperatura en la capa superior, S_B, T_B representen la salinitat i la temperatura en la capa inferior, Ra és el Número de Rayleigh i Pr és el Número de Prandtl. La senyal de Ra_S i Ra_T pot canviar depenent de si estabilisa o desestabilisa el sistema.