65537-gono

En geometria, un 65537-gono és un polígon en 65 537 (açò és 2¹⁶ + 1) costats. La suma dels ànguls interiors de qualsevol 65537-gono que no siga autointersecante és d'11 796 300°. Presenta la particularitat de que es pot construir en regla i compàs, en ser 65 537 un número de Fermat.

65537-gono regular

L'àrea d'un 65537-gono normal és (en a = llongitut del costat)

A = \frac{65537}{4} a^{2} \cot \frac{π}{65537}

Un 65537-gono regular complet no es distinguix visualment d'una circumferència, i la seua perímetro diferix del de la circumferència circumscrita en aproximadament quinze partixes per mil millons.

Construcció

El 65537-gono regular (un en tots els costats iguals i tots els ànguls iguals) és d'interés per ser un polígon construible: és dir, es pot construir usant un compàs i una regla sense marcar. Açò es deu a que 65 537 és un número de Fermat, sent de la forma 2^2ⁿ + 1 (en est case n = 4).

Per lo tant, els valors $\cos \frac{π}{65537}$ i $\cos \frac{2 π}{65537}$ són número algebraico associats a un polinomi de grau 32 768 i, com qualsevol número construible, es poden escriure en térmens de raïls quadrades i no de raïls d'orde superior.

Encara que Gauss sabia en 1801 que el 65537-gono regular era construible, Johann Gustav Hermes (1894) va proporcionar la primera construcció explícita d'un 65537-gono regular. La construcció és molt complexa; Hermes va passar 10 anys completant el manuscrit de 200 pàgines.^[1] Un atre método implica l'us d'un màxim de 1332 círculs de Carlyle, i les primeres etapes d'este método es mostren a continuació. Este método soluciona problemes pràctics, ya que un d'estos círculs de Carlyle resol l'equació de segon grau x² + x − 16384 = 0 (sent 16 384 precisament 2¹⁴).^[2]

Archiu:Regular 65537-gon First Carlyle Circle.gif

Referències

↑ Johann Gustav Hermes (1894). “Über die Teilung dones Kreises in 65537 gleiche Teile” (de). Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 3: 170–186.
↑ DeTemple, Duane W.. “Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions”. The American Mathematical Monthly 98 (2): 97–208. doi:10.2307/2323939.

Este artícul conté una traducció derivada de «65537-gono» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Johann Gustav Hermes (1894). “Über die Teilung dones Kreises in 65537 gleiche Teile” (de). Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 3: 170–186.

[DeTemple-2] DeTemple, Duane W.. “Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions”. The American Mathematical Monthly 98 (2): 97–208. doi:10.2307/2323939.

[1]

[2]