Sextet de Soddy

En geometria, un sextet de Soddy és una cadena de sis esferas (representades en color gris en la Figura 1), cada una de les quals és tangente a les seues dos esferes veïnes i també a tres esferes donades, mútuament tangentes entre sí. En la figura 1, estes tres esferes es mostren com una esfera interior (roja) i com dos esferes (no representades) una per damunt i una atra per baix del pla en el que es troben els centres de les esferes del sextet. Ademés, les esferes del sextet són tangentes a una quarta esfera (de color azulado en la Figura 1, rodejada per una circumferència de color taronja), que no és tangente a les atres tres.

Erro al crear miniatura:

Figura 1. Família de sextets, relacionats entre sí per mig de rotació i escalat. Els centres de les esferes se situen sobre una elipse, per lo que formen sextets elíptics. Cada esfera del sextet és tangente a atres dos de la família, a l'esfera roja central, a atres dos esferes (superior i inferior; no representades) i a l'esfera exterior. Cada fotograma de la seqüència animada es correspon en un possible sextet de Soddy.

Segons un teorema publicat per Frederick Soddy en 1937, sempre és possible trobar un sextet per a qualsevol conjunt d'esferes tangentes entre sí A, B i C. De fet, existix una família infinita de sextets relacionats per rotació i escalat de les esferes del sextet (Figura 1). En este cas, el sextet de Soddy és l'anàlec esfèric de la cadena de Steiner de sis círculs. D'acort en les cadenes de Steiner, els centres de les esferes del sextet es troben en un sol pla, sobre una elipse. El sextet de Soddy també es va descobrir de forma independent en Japó, com ho demostren les tablillas Sangaku de 1822 de la prefectura de Kanagawa.

Definició

El sextet de Soddy és una cadena de sis esferes, etiquetades com a S₁–S₆, cada una de les quals és tangente a tres esferes donades A, B i C, que són mútuament tangentes en tres punts distints (en la Figura 2, les esferes del sextet estan representades en gris, les esferes A i B en vert, i l'esfera C en blava. Les esferes del sextet són també tangentes a una quarta esfera fixa D (representada en roig) que no és tangente a les atres tres, A, B i C.

Cada esfera del sextet de Soddy és també tangente als seus veïns en la cadena; per eixemple, l'esfera S₄ és tangente a S₃ i S₅. La cadena està tancada, lo que significa que cada esfera en la cadena té dos veïns tangentes; en particular, les esferes inicial i final, S₁ i S₆, són tangentes entre sí.

Sextet anular

Erro al crear miniatura:

Figura 2: Sextet de Soddy anular.

El sextet de Soddy anular és un cas especial (Figura 2), en el que les tres esferes mútuament tangentes consistixen en una esfera de ràdio r (blava), intercalada entre dos plans paralels (verts) separats per una distància perpendicular 2r En este cas, el sextet de Soddy consta de sis esferes iguals de ràdio r empacadas com cojinetes de boles al voltant de l'esfera central, i igualment intercalades. Les esferes del sextet també són tangentes a una quarta esfera (roja), que no és tangente a les atres tres.

La cadena de sis esferes pot girar al voltant de l'esfera central sense afectar a les seues tangència, mostrant que existix una família infinita de solucions per a este cas. A mida que es rotan, les esferes de l'hexàgon tracen un bou (una superfície en forma de rosquilla); en atres paraules, un bou és l'envolvente d'esta família de sextets.

Vore també

• Teorema dels círculs de Descartes

Bibliografia

• (1992).«Sangaku Collection in Kanagawa prefecture (Kanagawa-ken Sangaku-syū in Japanese)».Amano, Hiroshi..
• (1952).«Interlocked rings of spheres».Scripta Mathematica.18

113–121..

• (2008).«Sacred Mathematics: Japanese Temple Geometry».Princeton University Press.
• (2000).«MacTutor History of Mathematics archive»..
• (1990).«Excursions in Geometry».Dover..
• (1937).«The bowl of integers and the hexlet».Nature.139(3506)

77–79.doi:10.1038/139077a0..

• (1998).«Japanese Temple Geometry».Scientific American.278

85–91.doi:10.1038/scientificamerican0598-84..

• (2009).«Dictionary of Wasan (Wasan no Jiten in Japanese)».Asakura..