Mida del risc

En matemàtiques financeres, una mida de risc s'utilisa per a determinar la cantitat d'un actiu o conjunt d'actius (tradicionalment divises) que deu mantindre's en reserva. El propòsit d'esta reserva és que els riscs assumits per les institucions financeres, com a bancs i companyies de segurs, siguen acceptables per al regulador. En els últims anys, l'atenció s'ha centrat en la medició de riscs convexa i coherent.

Definició matemàtica

Una mida de risc es definix com una correspondència entre un conjunt de variables aleatòries i número real. Este conjunt de variables aleatòries representa els rendiments de la cartera. La notació comuna per a una mida de risc associada a una variable aleatòria $X$ és $\rho (X)$. Una mida de risc $\rho :ℒ\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ deu tindre certes propietats:

Normalisació

$\rho (0)=0$

Translació

$\text{Si }a\in ℝ\text{ y }Z\in ℒ,\text{entonces }\rho (Z+a)=\rho (Z)-a$

Monotonia

$\text{Si }{Z}_1,Z_2\in ℒ\text{ y }{Z}_1\le Z_2,\text{entonces }\rho (Z_2)\le \rho (Z_1)$

Subaditividad (per a mides coherents)

$\rho (Z_1+Z_2)\le \rho (Z_1)+\rho (Z_2)$

Homogeneïtat positiva (per a mides coherents)

$\rho (\lambda Z)=\lambda \rho (Z)\text{para }\lambda \ge 0$

Les dos últimes propietats (subaditividad i homogeneïtat positiva), junt en les tres primeres, definixen una mida de risc coherent.

Conjunt de valors

En una situació en ${ℝ}^d$ carteres valorades de tal manera que el risc puga medir-se en $m\le d$ dels actius, llavors un conjunt de carteres és la forma adequada de representar el risc. Les mides de risc en valors de conjunt són útils per a mercats en costs de transacció.

Definició matemàtica

Una mida de risc en valors de conjunt és una funció $R:L_d^p\to {𝔽}_M$, a on $L_d^p$ és un $d$-espai Lp dimensional, ${𝔽}_M=\{D\subseteq M:D=cl(D+K_M)\}$, i $K_M=K\cap M$ a on $K$ és un con de solvència constant i $M$ és el conjunt de carteres dels $m$ actius de referència. $R$ deu tindre les següents propietats:

Normalisació

$K_M\subseteq R(0)\text{ y }R(0)\cap -\mathrm{int}{K}_M=\mathrm{\varnothing }$

Translació en

M : $\mathrm{\forall }X\in L_d^p,\mathrm{\forall }u\in M:R(X+u1)=R(X)-u$

Monotonia

$\mathrm{\forall }{X}_2-X_1\in L_d^p(K)\Rightarrow R(X_2)\supseteq R(X_1)$