Regla de tres

La regla de tres és una forma de resoldre problemes de proporcionalitat entre tres o més valors coneguts i una incògnita. En ella s'establix una relació de llinealitat (proporcionalitat) entre els valors involucrats.

Regla de tres és l'operació de trobar el quart terme d'una proporció coneixent els atres tres.

La regla de tres més coneguda és la regla de tres simple directa, encara que també existix la regla de tres simple inversa i la regla de tres composta.

Regla de tres simple

En la regla de tres simple, s'establix la relació de proporcionalitat entre dos valors coneguts A i B, i coneixent un tercer valor X, calculem un quart valor. Y.

<math>

  \begin{array}{ccc}
     A & \longrightarrow & B \\
     X & \longrightarrow & Y
  \end{array}

</math>

La relació de proporcionalitat pot ser directa o inversa, serà directa quan a un major valor de A hi haurà un major valor de B, i serà inversa, quan es de que, a un major valor de A corresponga un menor valor de B, vejam cada u d'eixos casos.

Regla de tres simple directa

La regla de tres simple directa es fonamenta en una relació de proporcionalitat, per #lo que ràpidament s'observa que:

<math>

  \frac{B}{A} =
  \frac{Y}{X} =
  k

</math>

A on k és la constant de proporcionalitat, per a que esta proporcionalitat es complixca tenim que a un aument de A li correspon un aument de B en la mateixa proporció. Que podem representar:

<math>

  \left .
     \begin{array}{ccc}
        A & \longrightarrow & B \\
        X & \longrightarrow & Y
     \end{array}
  \right \}
  \rightarrow \quad
  Y = \cfrac{B \cdot X}{A}

</math>

i direm que: A és a B directament, com a X és a Y, sent Y igual al producte de B per X dividit entre A.

Imaginem que se nos planteja lo següent:

Si necessite 8 litros de pintura per a pintar 2 habitacions, ¿quants litros necessite per a pintar 5 habitacions?

Este problema s'interpreta de la següent manera: la relació és directa, ya que, a major número d'habitacions farà falta més pintura, i ho representem aixina:

<math>

  \left .
     \begin{array}{ccc}
        2 \; \text{habitacions} & \longrightarrow & 8 \; \text{litros} \\
        5 \; \text{habitacions} & \longrightarrow & Y \; \text{litros}
     \end{array}
  \right \}
  \rightarrow \quad

  Y =
  \cfrac{8 \; \text{litros} \cdot 5 \; \text{habitaciones} }{2 \; \text{habitacions} } =
  20 \; litros

</math>

Regla de tres simple inversa

En la regla de tres simple inversa, en la relació entre els valors se cumplix que:

<math>

  A \cdot B =
  X \cdot Y =
  e

</math>

on e és un producte constant, per a que esta constant es conserve, tindrem que un aument de A, necessitara una disminució de B, per a que el seu producte permaneixca constant, si representem la regla de tres simple inversa, tindrem:

<math>

  \left .
     \begin{array}{ccc}
        A & \longrightarrow & B \\
        X & \longrightarrow & Y
     \end{array}
  \right \}
  \rightarrow \quad
  Y = \cfrac{A \cdot B}{X}

</math>

i direm que: A és a B inversament, com a X és a Y, sent Y igual al producte de A per B dividit per X.

Si per eixemple tenim el problema:

Si 8 treballadors construïxen un mur en 15 hores, ¿quànt tardaran 5 treballadors en alçar el mateix mur?

Si s'observa en atenció el sentit de l'enunciat, resulta evident que quants més obrers treballen, menys hores necessitaran per a alçar el mateix mur (suponent que tots treballen al mateix ritme).

<math>

  8 \; \text{treballadors} \cdot 15 \; \text{hores} =
  5 \; \text{treballadors} \cdot Y \; \text{hores} =
  120 \; \text{hores de treball}

</math>

El total d'hores de treball necessàries per a alçar el mur són 120 hores, que poden ser aportades per un sol treballador que ampre 120 hores, 2 treballadors en 60 hores, 3 treballadors ho faran en 40 hores, etc. En tots els casos el número total d'hores permaneix constant.

Tenim per tant una relació de proporcionalitat inversa, i deurem aplicar una regla de tres simple inversa, tenim:

<math>

  \left .
     \begin{array}{ccc}
        8 \; \text{treballadors} & \longrightarrow & 15 \; \text{hores} \\
        5 \; \text{treballadors} & \longrightarrow & Y \; \text{hores}
     \end{array}
  \right \}
  \rightarrow \quad
  Y = \cfrac{8 \; \text{treballadors} \cdot 15 \; \text{hores} }{5 \; \text{treballadors} } =
  24 \; \text{hores}

</math>

Regla de tres composta

En ocasions el problema plantejat involucra més de tres cantitats conegudes, ademés de la desconeguda. Observem el següent eixemple:

Si 12 treballadors construïxen un mur de 100 metros en 15 hores, ¿quants treballadors es necessitaran per a alçar un mur de 75 metros en 26 hores?

En el problema plantejat apareixen dos relacions de proporcionalitat al mateix temps. Ademés, per a completar l'eixemple, s'ha inclós una relació inversa i una atra directa. En efecte, si un mur de 100 metros ho construïxen 12 treballadors, és evident que per a construir un mur de 75 metros es necessitaran menys treballadors. Quan més chicotet és el mur, menys número d'obrers precisem: es tracta d'una relació de proporcionalitat directa. Per un atre costat, si disponem de 15 hores per a que treballen 12 obrers, és evident que disponent de 26 hores necessitarem menys obrers. En aumentar una cantitat, disminuïx l'atra: es tracta d'una relació de proporcionalitat inversa.

El problema s'enunciaria aixina:

100 metros són a 15 hores i 12 treballadors com 75 metros són a 26 hores i I treballadors.

La solució al problema és multiplicar 12 per 75 i per 15, i el resultat dividir-ho entre el producte de 100 per 26. Per tant, 13500 entre 2600 resulta 5,19 (lo que per grosseig resulten ser 6 treballadors ya que 5 treballadors no serien suficients).

Formalment el problema es planteja aixina:

<math>

  \begin{matrix}
     A & \longrightarrow & B \longrightarrow & C \\
     X & \longrightarrow & Z \longrightarrow & Y
  \end{matrix}

</math>

• La resolució implica plantejar cada regla de tres simple per separat. Per un costat, la primera, que, recordem, és directa, i es resol aixina:

<math>

  \left .
     \begin{matrix}
        A & \longrightarrow & C \\
        X & \longrightarrow & Y
     \end{matrix}
  \right \}
  \quad \longrightarrow \quad
  Y = \frac{X \cdot C}{A}

</math>

• A continuació plantegem la segona, que, recordem, és inversa, i es resol aixina:

<math>

  \left .
     \begin{matrix}
        B & \longrightarrow & C \\ 

        Z & \longrightarrow & Y
     \end{matrix}
  \right \}
  \quad \longrightarrow \quad
  Y = \frac{B \cdot C}{Z}

</math>

• A continuació unim abdós operacions en una sola, anant en conte de no repetir cap terme (és dir, afegint el terme C una sola volta):

<math>

  Y = \frac{X \cdot B \cdot C}{A \cdot Z}

</math>

lo que nos dona la solució buscada.

El problema es pot plantejar en tots els térmens que es vullga, siguen totes les relacions directes, totes inverses o mesclades, com en el cas anterior. Cada regla ha de plantejar-se en sum conte, tenint en conte si és inversa o directa, i tenint en conte (açò és molt important) no repetir cap terme en unir cadascuna de les relacions simples.

• Est artícul fon creat a partir de la traducció de l'artícul es.wikipedia.org/wiki/Regla de tres de la Wikipedia en espanyol, baix llicència Creative Commons-BY-SA.