Diferència entre les revisions de "Llongitut"
(Text reemplaça - 'cridat' a 'nomenat') |
|||
| (No es mostra una edició intermija d'un usuari) | |||
| Llínea 7: | Llínea 7: | ||
La '''llongitut''' és un [[geometria|concepte mètric]] definible per a entitats geomètriques sobre la que s'ha definit una distància. Més concretament donat un segment, curva o llínea finita, es pot definir la seua llongitut a partir de la noció de distància. No obstant, no deu confondre's llongitut en distància, ya que per a una curva general (no per a un segment recte) la distància entre dos punts qualssevol de la mateixa és sempre inferior a la llongitut de la curva compresa entre eixos dos punts. Igualment la noció matemàtica de llongitut es pot identificar en l'una [[magnitut física]] que determinada per la distància física. | La '''llongitut''' és un [[geometria|concepte mètric]] definible per a entitats geomètriques sobre la que s'ha definit una distància. Més concretament donat un segment, curva o llínea finita, es pot definir la seua llongitut a partir de la noció de distància. No obstant, no deu confondre's llongitut en distància, ya que per a una curva general (no per a un segment recte) la distància entre dos punts qualssevol de la mateixa és sempre inferior a la llongitut de la curva compresa entre eixos dos punts. Igualment la noció matemàtica de llongitut es pot identificar en l'una [[magnitut física]] que determinada per la distància física. | ||
| − | La llongitut és una de les [[Magnitut fonamental| | + | La llongitut és una de les [[Magnitut fonamental|magnitut físiques fonamentals]], mentres que no pot ser definida en térmens d'atres magnitudes que es poden medir. En molts sistemes de mesura, la llongitut és una magnitut fonamental, de la qual deriven unes atres.<ref name=Resnick1-3>Resnick, 1993, pp.;1-3.</ref> |
La llongitut és una mesura d'una dimensió (llineal; per eixemple la [[distància]] en [[Metro|m]]), mentres que el [[àrea]] és una mesura de dos dimensions (a la garrofa; per eixemple [[metro quadrat|m²]]), i el [[volum]] és una mesura de tres dimensions (cúbica; per eixemple [[metro cúbic|m³]]). | La llongitut és una mesura d'una dimensió (llineal; per eixemple la [[distància]] en [[Metro|m]]), mentres que el [[àrea]] és una mesura de dos dimensions (a la garrofa; per eixemple [[metro quadrat|m²]]), i el [[volum]] és una mesura de tres dimensions (cúbica; per eixemple [[metro cúbic|m³]]). | ||
| Llínea 34: | Llínea 34: | ||
En coordenades cartesianes tridimensionals (eixos ''x'', ''i'' i ''z''), el «llarc», o «llongitut dimensional» sol correspondre en les [[sistema de coordenades|coordenades]] ''i'', mentres que el «ample» i el «alt» en les ''x'' i les ''z'', respectivament.<ref name=Prieto /> Donada una curva [[curva#curva suave|suave]] (diferenciable i de classe <math>C^1(\Iota)\,</math>), en <math>\mathbb{R}^3</math> y donat el seu vector de posició <math>\mathbf r(t)</math> expressat per mig del paràmetro ''t''; | En coordenades cartesianes tridimensionals (eixos ''x'', ''i'' i ''z''), el «llarc», o «llongitut dimensional» sol correspondre en les [[sistema de coordenades|coordenades]] ''i'', mentres que el «ample» i el «alt» en les ''x'' i les ''z'', respectivament.<ref name=Prieto /> Donada una curva [[curva#curva suave|suave]] (diferenciable i de classe <math>C^1(\Iota)\,</math>), en <math>\mathbb{R}^3</math> y donat el seu vector de posició <math>\mathbf r(t)</math> expressat per mig del paràmetro ''t''; | ||
:<math> \mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf i+y(t)\mathbf j+z(t)\mathbf k \qquad t \in [a,b] \,</math> | :<math> \mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf i+y(t)\mathbf j+z(t)\mathbf k \qquad t \in [a,b] \,</math> | ||
| − | es definix el | + | es definix el nomenat [[llongitut d'arc|paràmetro d'arc]] ''s'' como:<br /> |
<br /> | <br /> | ||
:<math>s =\phi(t)= \int_{a}^{t} \sqrt{\left [ x'(\tau) \right ] ^2 + \left [ y'(\tau)\right ]^2 + \left [z'(\tau)\right ] ^2} \, d\tau </math> | :<math>s =\phi(t)= \int_{a}^{t} \sqrt{\left [ x'(\tau) \right ] ^2 + \left [ y'(\tau)\right ]^2 + \left [z'(\tau)\right ] ^2} \, d\tau </math> | ||
Última revisió del 13:01 28 ago 2023
La llongitut és un concepte mètric definible per a entitats geomètriques sobre la que s'ha definit una distància. Més concretament donat un segment, curva o llínea finita, es pot definir la seua llongitut a partir de la noció de distància. No obstant, no deu confondre's llongitut en distància, ya que per a una curva general (no per a un segment recte) la distància entre dos punts qualssevol de la mateixa és sempre inferior a la llongitut de la curva compresa entre eixos dos punts. Igualment la noció matemàtica de llongitut es pot identificar en l'una magnitut física que determinada per la distància física.
La llongitut és un concepte mètric definible per a entitats geomètriques sobre la que s'ha definit una distància. Més concretament donat un segment, curva o llínea finita, es pot definir la seua llongitut a partir de la noció de distància. No obstant, no deu confondre's llongitut en distància, ya que per a una curva general (no per a un segment recte) la distància entre dos punts qualssevol de la mateixa és sempre inferior a la llongitut de la curva compresa entre eixos dos punts. Igualment la noció matemàtica de llongitut es pot identificar en l'una magnitut física que determinada per la distància física.
La llongitut és una de les magnitut físiques fonamentals, mentres que no pot ser definida en térmens d'atres magnitudes que es poden medir. En molts sistemes de mesura, la llongitut és una magnitut fonamental, de la qual deriven unes atres.[1]
La llongitut és una mesura d'una dimensió (llineal; per eixemple la distància en m), mentres que el àrea és una mesura de dos dimensions (a la garrofa; per eixemple m²), i el volum és una mesura de tres dimensions (cúbica; per eixemple m³).
No obstant, segons la teoria especial de la relativitat (Albert Einstein, 1905), la llongitut no és una propietat intrínseca de cap objecte ya que dos observadors podrien medir el mateix objecte i obtindre resultats diferents (contracció de Lorentz) [2]
El llarc o llongitut dimensional d'un objecte és la mesura del seu eix tridimensional i. Esta és la manera tradicional en que es nomenava a la part més llarga d'un objecte (sobre la seua base horisontal i no el seu alt vertical). En coordenades cartesianes bidimensionals, on solament existixen els eixos xy no es denomina «llarc». Els valores x indiquen l'ample (eix horisontal), i els i l'alt (eix vertical).[3]
Història[editar | editar còdic]
Les medicions han segut importants des de que els sers humans es varen establir, abandonant el seu estil de vida #nómada i va començar la agricultura, la construcció d'assentaments estables, ocupant el terreny i negociant en els seus veïns. Conforme la societat s'ha tornat més orientada cap a per la tecnologia, s'han requerit majors precisió en les mesures en un conjunt de camps que s'incrementa cada volta més, des de la microelectrònica fins a les distàncies interplanetàries.[4]
Una de les unitats més antigues de llongitut va ser el colze. El colze va ser definit com la llongitut del braç des de la punta del dit mig fins al colze. Atres unitats menors varen ser el peu (unitat), la mà o el dit. El colze podia variar considerablement pels diferents tamanys entre una persona i una atra.[4]
Despuix de la publicació de la relativitat especial de Albert Einstein, la llongitut no va poder ya vore's com una magnitut invariant en tots els marcs de referència. Per esta raó, una regla que medixca un metro de llongitut en un marc de referència no medirà la mateixa cantitat en un atre marc de referència que es moga a una velocitat relativa al primer marc. Açò significa que la llongitut és variable, depenent de l'observador.[2]
Noció matemàtica[editar | editar còdic]
La noció de llongitut es va definir en primer lloc per a segments rectes. La noció elemental de distància euclídea va servir per a definir la llongitut d'un segment recte, com la distància entre els seus extrems. El següent pas va ser definir la llongitut d'una curva (círcul, elipse, etc), per a estes nocions existia un procediment físic que consistia en enrollar un cordell inextensible al voltant d'una figura corba, marcar cert punt sobre el cordell i estirar-ho de nou per a medir la distància recta a lo llarc del cordell.
Bidimensional[editar | editar còdic]
La moderna noció de llongitut es basa fonamentalment en la noció definida dins de la geometria diferencial de curves. Una atra forma més pròxima a la noció original de llongitut és l'aproximació d'una curva diferenciable per mig d'una poligonal, aixina en época d'Arquimedes ya havia segut possible determinar en molta exactitut el perímetro d'una circumferència per mig de successions de polígons inscrits i circumscrits a la circumferència. Ya que el perímetro d'un polígon pot ser determinat a partir de triànguls i, en particular, usant el teorema de Pitàgores. El desenroll del càlcul infinitesimal va permetre estendre la noció de llongitut a curves analítiques molt complicades per als quals no és senzill aplicar els métodos dels antics matemàtics grecs d'aproximació per mig de poligonals.
Fins al sigle XIX es va assumir que la llongitut d'una curva acotada, devia ser finita, no obstant, durant el sigle XIX matemàtics com Karl Weierstras varen trobar que existixen curves contínues que no són diferenciables en cap punt, i per tant, per als quals no està definida la noció de llongitut amprada en la geometria diferencial. Posteriorment es va demostrar que curves contínues com la curva de Koch són curves tancades que tanca un àrea finita, pero no obstant són de llongitut infinita (de fet esta curva mostra que un àrea acotada pot estar delimitada per un perímetro de llongitut infinita).
Tridimensional[editar | editar còdic]
En coordenades cartesianes tridimensionals (eixos x, i i z), el «llarc», o «llongitut dimensional» sol correspondre en les coordenades i, mentres que el «ample» i el «alt» en les x i les z, respectivament.[3] Donada una curva suave (diferenciable i de classe <math>C^1(\Iota)\,</math>), en <math>\mathbb{R}^3</math> y donat el seu vector de posició <math>\mathbf r(t)</math> expressat per mig del paràmetro t;
- <math> \mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf i+y(t)\mathbf j+z(t)\mathbf k \qquad t \in [a,b] \,</math>
es definix el nomenat paràmetro d'arc s como:
- <math>s =\phi(t)= \int_{a}^{t} \sqrt{\left [ x'(\tau) \right ] ^2 + \left [ y'(\tau)\right ]^2 + \left [z'(\tau)\right ] ^2} \, d\tau </math>
La qual es pot expressar també de la següent forma en la qual resulta més fàcil de recordar
- <math>s =\phi(t)= \int_{a}^{t} {\left \Vert \mathbf{r}'(\tau) \right \|}d\tau </math>
La qual cosa permet reparametrisar la curva de la següent manera:
- <math> \mathbf{\tilde{r}}(s)=\left (\tilde{x}(s), \tilde{y}(s), \tilde{z}(s) \right)</math>
on
- <math> \tilde{x}(\phi(t))=x(t), \qquad \tilde{y}(\phi(t))=y(t), \qquad \tilde{z}(\phi(t))=z(t)</math>
són les relacions entre les dos parametrisacions.
Noció física[editar | editar còdic]
En mecànica clàssica la noció de llongitut es va considerar una noció absoluta independent de l'observador. Ademés si be les geometria no euclídeo eren conegudes des de principi del sigle XIX, ningú va assumir sériament que la geometria de l'espai físic poguera ser una atra que la de l'espai euclídeo fins a a lo manco finals del sigle XIX. Alguns treballs dels matemàtics Riemann, Poincaré o el físic Lorentz varen escomençar a posar en dubte la noció clàssica de la llongitut com a magnitut invariant independent de l'observador.
Posteriorment la teoria de la relativitat general del Albert Einstein va ser la primera teoria física important que rebuja explícitament la noció de que un observador estàtic en presència de cossos físics massius puga assumir que la geometria de l'espai siga euclídeo. No obstant, encara en la teoria de la relativitat s'assumix que l'espai donat a un observador, encara que no fora globalment euclídeo sí és localment euclídeo.
Durant el sigle XX, la teoria quàntica de camps va portar inclús a especular sobre si la naturalea de l'espai-temps era localment euclídeo, ya que per a escales molt menudes de l'orde de la llongitut de Planck poguera donar-se el cas que la noció de distància matemàtica no estiguera ben definida, i a eixes escales els models de espai euclídeo o de varietat riemanninana podrien ser senzillament inadequades.
Unitats de llongitut[editar | editar còdic]
- Artícul principal → Unitats de llongitut.
Existixen distints tipos de unitats de mesura que són utilisades per a medir la llongitut, i unes atres que ho varen anar en el passat. Les unitats de mesura es poden basar en la llongitut de diferents parts del cos humà, en la distància recorreguda en número de passos, en la distància entre punts de referència o punts coneguts de la Terra, o arbitràriament en la llongitut d'un determinat objecte.[4]
En el Sistema Internacional (SI), l'unitat bàsica de llongitut és el metro, i hui en dia se significa en térmens de la velocitat de la llum. El centímetro i el quilómetro deriven del metro, i són unitats utilisades habitualment.[1]
Les unitats que s'utilisen per a expressar distàncies en l'immensitat de l'espai (astronomia) són molt més grans que les que s'utilisen habitualment en la Terra, i són (entre atres): la unitat astronòmica, el any llum i el pársec.[5]
Per una atra part, les unitats que s'utilisen per a medir distàncies molt menudes, com en el camp de la química o la física atòmica, inclouen el micrómetro, el ångström, el radie de Bohr i la llongitut de Planck.
Referències[editar | editar còdic]
- ↑ 1,0 1,1 Resnick, 1993, pp.;1-3.
- ↑ 2,0 2,1 Resnick, 1993, p. 524.
- ↑ 3,0 3,1 , Editex. ISBN 9788490033340.
- ↑ 4,0 4,1 4,2 National Physical Laboratory, «History of Length Measurement» (en inglés). Consultado el 15 de junio de 2014.
- ↑ International Astronomical Union (31 d'agosto de 2012). «RESOLUTION B2: on the re-definition of the astronomical unit of length». Consultat el 22 de septiembre de 2012.
- Est artícul fon creat a partir de la traducció de l'artícul es.wikipedia.org/wiki/Longitud de la Wikipedia en espanyol, baix llicència Creative Commons-BY-SA.
Bibliografia[editar | editar còdic]
- ,, Compañía Editorial Continental; publicado originalmente por John Wiley & Sons Inc. ISBN 968-26-1230-6.
Vore també[editar | editar còdic]
Enllaços externs[editar | editar còdic]
Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Llongitut.