Diferència entre les revisions de "Representació decimal"

De L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià
Anar a la navegació Anar a la busca
(Pàgina nova, en el contingut: «En matemàtiques, la '''representació decimal''' és una manera d'escriure @número real positius, per mig de potències del número 10 (negatives i/o...»)
 
 
(No es mostren 10 edicions intermiges d'3 usuaris)
Llínea 6: Llínea 6:
 
:<math> r=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{10^i}</math>
 
:<math> r=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{10^i}</math>
  
a on ''a''<sub>0</sub> és un entero no negatiu, y ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, … son enteros tals que 0;''a<sub>i</sub>''9 (són els cridats «dígits» de la representació decimal). Si la seqüència de dígits és finita, els ''a''<sub>''i''</sub> restants s'assumixen com 0. Si no es consideren [[0,9 periódico|secuencias infinitas de&nbsp;9's]], la representació es única.<ref>{{Obra citada
+
a on ''a''<sub>0</sub> és un sancer no negatiu, y ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, … son sancers tals que 0;''a<sub>i</sub>''9 (són els nomenats «dígits» de la representació decimal). Si la seqüència de dígits és finita, els ''a''<sub>''i''</sub> restants s'assumixen com 0. Si no es consideren [[0,9 periódico|secuencias infinitas de&nbsp;9's]], la representació es única.<ref>{{Obra citada
 
| last=Knuth | first = D. E. | author-link = Donald Ervin Knuth
 
| last=Knuth | first = D. E. | author-link = Donald Ervin Knuth
 
| title = The Art of Computer Programming
 
| title = The Art of Computer Programming
Llínea 16: Llínea 16:
 
:<math>r=a_0,a_1 a_2 a_3\dots.\,</math>
 
:<math>r=a_0,a_1 a_2 a_3\dots.\,</math>
  
En tal cas, ''a''<sub>0</sub> és la [[part entera]] de ''r'', no necessariament entre 0 y 9, i ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>, … són els dígito que formen la [[part fraccionaria]] de ''r''.
+
En tal cas, ''a''<sub>0</sub> és la [[part entera]] de ''r'', no necessàriament entre 0 y 9, i ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>, … són els dígitos que formen la [[part fraccionaria]] de ''r''.
  
 
Abdós notacions són, per definició, el [[Llímit d'una successió|llímit de la successió]]:
 
Abdós notacions són, per definició, el [[Llímit d'una successió|llímit de la successió]]:
:<math> r=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n \frac{a_i}{10^i}</math>.
+
:<math> r=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n \frac{a_i}{10^i}</math>.  
  
  
Llínea 30: Llínea 30:
  
 
{{Demostració|1=Siga <math>r_n = \textstyle\frac{p}{10^n}</math>, en <math>p = \lfloor 10^nx\rfloor</math>.
 
{{Demostració|1=Siga <math>r_n = \textstyle\frac{p}{10^n}</math>, en <math>p = \lfloor 10^nx\rfloor</math>.
Llavors <math>p \leq 10^nx < p+1</math>, d'on el resultat s'obté en dividir entre <math>10^n\ </math>.  
+
Llavors <math>p \leq 10^nx < p+1</math>, d'a on el resultat s'obté en dividir entre <math>10^n\ </math>.  
 
}}
 
}}
  
== Cas dels número entero ==
+
== Cas dels números sancers ==
  
Tot número entero posseïx una [[Sistema de numeració|escritura natural]] en el [[sistema de numeració decimal]]. Per a obtindre la seua representació decimal és suficient en escriure 10<sup>0</sup> com a denominador.
+
Tot número sancer posseïx una [[Sistema de numeració|escritura natural]] en el [[sistema de numeració decimal]]. Per a obtindre la seua representació decimal és suficient en escriure 10<sup>0</sup> com a denominador.
  
 
== Cas dels números decimals ==
 
== Cas dels números decimals ==
  
Un número decimal (finit) és un número que es pot escriure de la forma <math>frac{N}{10^n}</math> en ''N''  i ''n'' número entero.
+
Un número decimal (finit) és un número que es pot escriure de la forma <math>frac{N}{10^n}</math> en ''N''  i ''n'' número sancer.
 
Un número decimal posseïx llavors una representació decimal llimitada composta per potències negatives de 10.
 
Un número decimal posseïx llavors una representació decimal llimitada composta per potències negatives de 10.
 
Recíprocament: tot número que posseïx una representació decimal llimitada, és un número decimal.
 
Recíprocament: tot número que posseïx una representació decimal llimitada, és un número decimal.
  
== Cas dels @número racional ==
+
== Cas dels números racionals ==
 
 
 
L'expansió decimal d'un número real no negatiu ''x'' terminarà en zeros (o en *nueves) si i solament si, ''x'' és un número racional el denominador del qual és de la forma
 
L'expansió decimal d'un número real no negatiu ''x'' terminarà en zeros (o en *nueves) si i solament si, ''x'' és un número racional el denominador del qual és de la forma
  2<sup>''n''</sup>5<sup>''m''</sup>, donde ''m'' y ''n'' son enteros no negativos.  
+
  2<sup>''n''</sup>5<sup>''m''</sup>, donde ''m'' y ''n'' són sancers no negatius.  
  
 
{{Demostració|1=Si la expansió decimal de  ''x'' termina en zeros, o si <math>x=\sum_{i=0}^n\frac{a_i}{10^i}=\sum_{i=0}^n10^{n-i}a_i/10^n</math> para algú ''n'', llavors el denominador de ''x'' és de la forma 10<sup>''n''</sup> = 2<sup>''n''</sup>5<sup>''n''</sup>.
 
{{Demostració|1=Si la expansió decimal de  ''x'' termina en zeros, o si <math>x=\sum_{i=0}^n\frac{a_i}{10^i}=\sum_{i=0}^n10^{n-i}a_i/10^n</math> para algú ''n'', llavors el denominador de ''x'' és de la forma 10<sup>''n''</sup> = 2<sup>''n''</sup>5<sup>''n''</sup>.
Llínea 62: Llínea 61:
 
* [[0,9 periòdic]]
 
* [[0,9 periòdic]]
 
* [[IEEE 754]]
 
* [[IEEE 754]]
* [[Simon Stevin]] |  [[Fracció decimal]]
+
* [[Simon Stevin]] |  [[Fracció decimal]]  
 
+
 
== Notes y referències ==
+
== Referències ==
 
{{listaref}}
 
{{listaref}}
  
Llínea 71: Llínea 70:
 
* {{cita libro|autor=[[Tom Apostol]]|título=Mathematical analysis|edición=Segunda edición|editorial=Addison-Wesley|año=1974}}
 
* {{cita libro|autor=[[Tom Apostol]]|título=Mathematical analysis|edición=Segunda edición|editorial=Addison-Wesley|año=1974}}
  
 +
[[Categoria:Matemàtiques]]
 
[[Categoria:Séries matemàtiques]]
 
[[Categoria:Séries matemàtiques]]
 
[[Categoria:Notació matemàtica]]
 
[[Categoria:Notació matemàtica]]

Última revisió del 15:46 28 jun 2024

En matemàtiques, la representació decimal és una manera d'escriure @número real positius, per mig de potències del número 10 (negatives i/o positives). En el cas dels número natural, la representació decimal correspon a la escritura en base 10 usual; per als número racional, s'obté una representació decimal llimitada, o illimitada periòdica si són números periòdics; si són irracionals, la representació decimal és illimitada i no periòdica.

Definició matemàtica[editar | editar còdic]

La representació decimal d'un número real no negatiu r, és una expressió matemàtica escrita tradicionalment com una série del tipo

<math> r=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{10^i}</math>

a on a0 és un sancer no negatiu, y a1, a2, … son sancers tals que 0;ai9 (són els nomenats «dígits» de la representació decimal). Si la seqüència de dígits és finita, els ai restants s'assumixen com 0. Si no es consideren secuencias infinitas de 9's, la representació es única.[1]

El número definit per una representació decimal també admet la següent escritura:

<math>r=a_0,a_1 a_2 a_3\dots.\,</math>

En tal cas, a0 és la part entera de r, no necessàriament entre 0 y 9, i a1, a2, a3, … són els dígitos que formen la part fraccionaria de r.

Abdós notacions són, per definició, el llímit de la successió:

<math> r=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n \frac{a_i}{10^i}</math>.


Aproximació a número real[editar | editar còdic]

Plantilla:Vt

Tot número real pot ser aproximat al grau de precisió desijat, per mig de @número racional que posseïxen representacions decimals finites. En efecte, siga <math>x\geq 0</math>; para cada número natural <math>n\geq 1</math> hi ha un @número decimal exacte <math>r_n=a_0.a_1a_2\cdots a_n</math> tal que

<math>r_n\leq x < r_n+\frac{1}{10^n}.\,</math>

Plantilla:Demostració

Cas dels números sancers[editar | editar còdic]

Tot número sancer posseïx una escritura natural en el sistema de numeració decimal. Per a obtindre la seua representació decimal és suficient en escriure 100 com a denominador.

Cas dels números decimals[editar | editar còdic]

Un número decimal (finit) és un número que es pot escriure de la forma <math>frac{N}{10^n}</math> en N i n número sancer. Un número decimal posseïx llavors una representació decimal llimitada composta per potències negatives de 10. Recíprocament: tot número que posseïx una representació decimal llimitada, és un número decimal.

Cas dels números racionals[editar | editar còdic]

L'expansió decimal d'un número real no negatiu x terminarà en zeros (o en *nueves) si i solament si, x és un número racional el denominador del qual és de la forma

2n5m, donde m y n són sancers no negatius. 

Plantilla:Demostració= \frac{2^m5^np}{10^{n+m}}</math> para algú p. }}

Vore també[editar | editar còdic]

Referències[editar | editar còdic]

  1. Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».

Bibliografia[editar | editar còdic]