Transformada de Laplace

La transformada de Laplace és un tipo de transformada integral freqüentment usada per a la resolució d'equacions diferencials ordinàries. La transformada de Laplace d'una funció f(t) definida (en equacions diferencials, en anàlisis matemàtic o en anàlisis funcional) para tots els números positius t ≥ 0, és la funció F(s), definida per:

(left)

sempre i quan l'integral estiga definida. Quan f(t) no és una funció, sino una distribució en una singularitat en 0, la definició és:

(left)

Quan es parla de la transformada de Laplace, generalment es referix a la versió unilateral. També existix la transformada de Laplace bilateral, que es definix com seguix:

(left)

La transformada de Laplace F(s) típicament existix per a tots els @número real s > a, on a és una constant que depén del comportament de creiximent de f(t).
<math>mathcal{L}</math> és nomenat el operador de la transformada de Laplace.

Perspectiva històrica

La transformada de Laplace rep el seu nom en honor del matemàtic francés Pierre-Simon Laplace, que la va presentar dins de la seua teoria de la provabilitat. En l'any 1744, Leonhard Euler havia investigat un conjunt d'integrals de la forma:

(left)

— com a solucions d'equacions diferencials, pero no va profundisar en elles i pronte va abandonar la seua investigació. Joseph Louis *Lagrange, admirador de Euler, també va investigar eixe tipo d'integrals, i les va lligar a la teoria de la provabilitat en un treball sobre funcions de densitat de provabilitat de la forma:

<math> \int X(x) e^{- a x } a^x\, dx,</math>

— que alguns historiadors interpreten com a autèntiques transformades de Laplace. Este tipo d'integrals varen atraure l'atenció de Laplace quan, en 1782, i seguint l'idea de *Euler, va tractar d'amprar estes integrals com a solucions d'equacions diferencials. Sembla ser que en 1785 va donar un pas més allà, i reenfocà el problema para en lloc d'usar les integrals com a solucions, aplicar-les a les equacions donant lloc a les transformades de Laplace tal i com hui en dia s'entenen. Va usar una integral de la forma:

<math> \int x^s \phi (s)\, dx,</math>

— anàloga a la transformada de Mellin, en la que va transformar una equació diferencial en una equació algebraica de la que va buscar la seua solució. Va plantejar alguna de les principals propietats de la seua transformada, i d'alguna forma va reconéixer que el método de Joseph Fourier per a resoldre per mig de séries de Fourier la equació de difusió podria relacionar-se en la seua transformada integral per a un espai finit en solucions periòdiques.

Pese al guany, les transformades de Laplace pronte varen caure en un relatiu oblit, en haver segut presentades en el camp de la provabilitat –alié a la seua moderna aplicació en la física i l'ingenieria–, i ser tractades sobretot com a objectes matemàtics merament teòrics.

La moderna aplicació de les transformades de Laplace i tota la seua teoria subjacent sorgix en realitat en la segona mitat del sigle XIX. En tractar de resoldre equacions diferencials relacionades en la teoria de vibracions, l'ingenier anglés Oliver *Heaviside (1850-1925) va descobrir que els operadors diferencials podien tractar-se analíticament com a variables algebraiques. D'acort en el "càlcul operacional", si es té una equació diferencial de la forma:

(left)

— on D és l'operador diferencial, açò és, <math>D=d/dt</math>, llavors la solució general a dita equació és de la forma:

(left)

Heaviside va observar que si es tractava a l'operador D com una variable algebraica, era possible alcançar igualment la solució de tota equació parella a la de dalt. En efecte, segons la solució general, es complix que:

(left)

Llavors, si es considera una equació diferencial de segon orde com la següent:

(left)

— esta pot reescriure's en per a resaltar l'operador D com:

(left)

Heaviside va propondre rebujar i tractar a D algebraicament, en el seu cas es tindria que:

(left)

Substituint les fraccions en D per l'expressió integral de les mateixes dalt presentada, s'aplega a la solució de l'equació diferencial:

{{{1}}}

(left)

Heaviside va publicar els seus resultats, l'utilitat dels quals a l'hora de resoldre equacions de la física i l'ingenieria va fer que pronte s'estengueren. No obstant, el treball de Heaviside, formal i poc rigorós, va atraure les crítiques d'alguns matemàtics puristes que els varen rebujar argumentant que els resultats de *Heaviside no podien sorgir de tal forma. No obstant, l'èxit del método va fer que pronte fora adoptat per ingeniers i físics de tot lo món, de manera que al final va atraure l'atenció de cert número de matemàtics tractant de justificar el método de manera rigorosa. Despuix de vàries décades d'intents, es va descobrir que la Transformada descoberta per Laplace feya un sigle no solament oferia un fonament teòric al método de càlcul operacional de *Heaviside, sino que ademés oferia una alternativa molt més sistemàtica a tals métodos.

Cap a principis del sigle XX, la transformada de Laplace es va convertir en una ferramenta comuna de la teoria de vibracions i de la teoria de circuits, dos dels camps a on ha segut aplicada en més èxit. En general, la transformada és adequada per a resoldre sistemes d'equacions diferencials llineals en condicions inicials en l'orige. Una de les seues ventages més significatives radica que la integració i derivació es convertixen en multiplicació i divisió. Açò transforma les equacions diferencials i integrals en equacions polinòmiques, molt més fàcils de resoldre.

Propietats

Linealitat

{{{1}}}

Derivació

{{{1}}}

{{{1}}}

{{{1}}}

Integració

<math>\mathcal{L}\left\{ \int_{0^{-

^{t}f(\tau )d\tau \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}</math>}}

Dualitat

<math>\mathcal{L}\{ t f(t)\}

 = -F'(s)</math>

Desplaçament de la freqüència

<math>\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} =

 F(s-a)</math>

Desplaçament temporal

<math>\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\}

 = e^{-as} F(s)</math>

<math>\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\}

 = f(t - a) u(t - a)</math>

Nota: <math>u(t)</math> es la funció escaló unitari.

Desplaçament potència n-ésima

<math>\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]</math>

Convolució

<math>\mathcal{L}\{f*g\}

 = F(s)G(s)</math>

Transformada de Laplace d'una funció en periodo p

Plantilla:Ecuación \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt</math>}}

Condicions de convergència

<math>\mathcal{L}\{(e^{t^2})\}</math> (que creix més ràpit que <math>e^{-st}</math>) no poden ser obtingudes per Laplace, ya que <math>e^{t^2}</math>, és una funció d'orde exponencial d'ànguls.

Teorema del valor inicial

Sea una función <math> f\in\varepsilon</math> derivable a trossos i que <math>f^{\prime}\in\varepsilon.</math> Llavors :

<math>f(0^{+})=\lim_{s\to\infty}{sF(s)}</math>

<math> \varepsilon</math> és el conjunt de funcions contínues a trossos en orde exponencial.

Teorema del valor final

Siga<math>f\in\varepsilon</math> una funció derivable a trossos tal que <math>f^{\prime}\in\varepsilon</math>.Llavors :

<math>f(\infty)=\lim_{s\to0}{sF(s)}</math>

<math> \varepsilon</math> és el conjunt de funcions contínues a trossos en orde exponencial.

Taula de les transformades de Laplace més comuns

La següent taula proveïx la majoria de les transformacions de Laplace per a funcions d'una sola variable. Degut a que la transformada de Laplace és un operador llineal, la transformada de Laplace d'una suma és la suma de la transformada de Laplace de cada terme.

{{{1}}}

(left)

Ací està una llista de les transformades més comunes. En ella <math>o,</math> denota a l'anomenada funció de Heaviside o funció escaló, que val 1 quan el seu argument és positiu i 0 quan el seu argument és negatiu. Quan el seu argument val 0 se li sol assignar el valor 1/2, encara que açò no té rellevància pràctica.

ID	Función	Domini en el temps <math>x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}</math>	Domini en la freqüència <math>X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}</math>	Región de la convergència para sistemas causals
1	retart ideal	<math> \delta(t-\tau) \ </math>	<math> e^{-\tau s} \ </math>
1a	impuls unitari	<math> \delta(t) \ </math>	<math> 1 \ </math>	<math> \mathrm{todo} \ s \,</math>
2	enèsima potència retardada y en desplaçament en la freqüència	<math>\frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau) </math>	<math> \frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}} </math>	<math> s > - \alpha \, </math>
2a	n-èsima potència	<math>{ t^n \over n! } \cdot u(t) </math>	<math> { 1 \over s^{n+1} } </math>	<math> s > 0 \, </math>
2a.1	q-èsima potència	<math>{ t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t) </math>	<math> { 1 \over s^{q+1} } </math>	<math> s > 0 \, </math>
2a.2	escaló unitari	<math> u(t) \ </math>	<math> { 1 \over s } </math>	<math> s > 0 \, </math>
2b	escaló unitari en retart	<math> u(t-\tau) \ </math>	<math> { e^{-\tau s} \over s } </math>	<math> s > 0 \, </math>
2c	Rampa	<math> t \cdot u(t)\ </math>	<math>\frac{1}{s^2}</math>	<math> s > 0 \, </math>
2d	potència n-ésima en cambi de freqüència	<math>\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) </math>	<math>\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}</math>	<math> s > - \alpha \, </math>
2d.1	amortiguació exponencial	<math> e^{-\alpha t} \cdot u(t) \ </math>	<math> { 1 \over s+\alpha } </math>	<math> s > - \alpha \ </math>
3	convergència exponencial	<math>( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \ </math>	<math>\frac{\alpha}{s(s+\alpha)} </math>	<math> s > 0\ </math>
3b	exponencial doble	<math>\frac{1}{b-a}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)</math>	<math>\frac{1}{(s+a)(s+b)}</math>	<math> s > -a \ y \ s > -b\ </math>
4	sen	<math> \sin(\omega t) \cdot u(t) \ </math>	<math> { \omega \over s^2 + \omega^2 } </math>	<math> s > 0 \ </math>
5	cosen	<math> \cos(\omega t) \cdot u(t) \ </math>	<math> { s \over s^2 + \omega^2 } </math>	<math> s > 0 \ </math>
5b	sen en fase	<math>\sin(\omega t+\varphi)\cdot u(t)</math>	<math>\frac{ s \sin(\varphi) + \omega\cos\varphi}{s^2+\omega^2}</math>	<math> s > 0 \ </math>
6	sen hiperbòlic	<math> \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \ </math>	<math> { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } </math>	\alpha | \ </math>
7	cosen hiperbòlic	<math> \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \ </math>	<math> { s \over s^2 - \alpha^2 } </math>	\alpha | \ </math>
8	ona senoidal en amortiguament exponencial	<math>e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \ </math>	<math> { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } </math>	<math> s > -\alpha \ </math>
9	ona cosenoidal en amortiguament exponencial	<math>e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \ </math>	<math> { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 } </math>	<math> s > -\alpha \ </math>
10	raíz n-ésima	<math> \sqrt[n]{t} \cdot u(t) </math>	<math> s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{t}\right)</math>	<math> s > 0 \, </math>
11	logaritme natural	<math> \ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t) </math>	<math> - { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ] </math>	<math> s > 0 \, </math>
12	Funció de Bessel de primer tipo, de orden n	<math> J_n( \omega t) \cdot u(t)</math>	<math>\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}</math>	<math> s > 0 \, </math> <math> (n > -1) \, </math>
13	Funció de Bessel modificada de primer tipo, de orden n	<math>I_n(\omega t) \cdot u(t)</math>	<math> \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}} </math>	\omega | \, </math>
14	Funció de Bessel de segundo tipo, de orden 0	<math> Y_0(\alpha t) \cdot u(t)</math>
15	Funció de Bessel modificada de segon tipo, de orden 0	<math> K_0(\alpha t) \cdot u(t)</math>
16	Funció de error	<math> \mathrm{erf}(t) \cdot u(t) </math>	<math> {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}</math>	<math> s > 0 \, </math>
Notes explicatives: <math> u(t) \, </math> representa la funció escaló unitari. <math> \delta(t) \, </math> representa la Delta de Dirac. <math> \Gamma (z) \, </math> representa la funció gamma. <math> \gamma \, </math> es la constant d'Euler-Mascheroni. <math>t \, </math>, un número real, típicament representa temps, encara que pot representar qualsevol variable independent. <math>s \, </math> és la freqüència angular complexa. <math> \alpha \,</math>, <math> \beta \,</math>, <math> \tau \, </math>, y <math>\omega \,</math> són números reals. <math> n \, </math>es un número sancer. sistema causal és un sistema on la resposta a l'impuls h(t) és zero per a tot temps t anterior a t = 0. En general, el ROC per a sistemes causals no és el mateix que el ROC para sistemes *anticausalés. Vore també causalitat.

Referències

• Fernández Rodríguez, César René (2006). Transformada de Laplace y Ecuaciones de Volterra (PDF). Universidad de Santiago de Chile

Bibliografia

• Spiegel, Murray R. (2014). Transformadas de Laplace. McGraw Hill Interamericana de México