Diferència entre les revisions de "Representació decimal"
(Pàgina nova, en el contingut: «En matemàtiques, la '''representació decimal''' és una manera d'escriure @número real positius, per mig de potències del número 10 (negatives i/o...») |
m |
||
| Llínea 16: | Llínea 16: | ||
:<math>r=a_0,a_1 a_2 a_3\dots.\,</math> | :<math>r=a_0,a_1 a_2 a_3\dots.\,</math> | ||
| − | En tal cas, ''a''<sub>0</sub> és la [[part entera]] de ''r'', no necessariament entre 0 y 9, i ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>, … són els | + | En tal cas, ''a''<sub>0</sub> és la [[part entera]] de ''r'', no necessariament entre 0 y 9, i ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>, … són els dígitos que formen la [[part fraccionaria]] de ''r''. |
Abdós notacions són, per definició, el [[Llímit d'una successió|llímit de la successió]]: | Abdós notacions són, per definició, el [[Llímit d'una successió|llímit de la successió]]: | ||
| Llínea 46: | Llínea 46: | ||
L'expansió decimal d'un número real no negatiu ''x'' terminarà en zeros (o en *nueves) si i solament si, ''x'' és un número racional el denominador del qual és de la forma | L'expansió decimal d'un número real no negatiu ''x'' terminarà en zeros (o en *nueves) si i solament si, ''x'' és un número racional el denominador del qual és de la forma | ||
| − | 2<sup>''n''</sup>5<sup>''m''</sup>, donde ''m'' y ''n'' | + | 2<sup>''n''</sup>5<sup>''m''</sup>, donde ''m'' y ''n'' són enteros no negatius. |
{{Demostració|1=Si la expansió decimal de ''x'' termina en zeros, o si <math>x=\sum_{i=0}^n\frac{a_i}{10^i}=\sum_{i=0}^n10^{n-i}a_i/10^n</math> para algú ''n'', llavors el denominador de ''x'' és de la forma 10<sup>''n''</sup> = 2<sup>''n''</sup>5<sup>''n''</sup>. | {{Demostració|1=Si la expansió decimal de ''x'' termina en zeros, o si <math>x=\sum_{i=0}^n\frac{a_i}{10^i}=\sum_{i=0}^n10^{n-i}a_i/10^n</math> para algú ''n'', llavors el denominador de ''x'' és de la forma 10<sup>''n''</sup> = 2<sup>''n''</sup>5<sup>''n''</sup>. | ||
| Llínea 71: | Llínea 71: | ||
* {{cita libro|autor=[[Tom Apostol]]|título=Mathematical analysis|edición=Segunda edición|editorial=Addison-Wesley|año=1974}} | * {{cita libro|autor=[[Tom Apostol]]|título=Mathematical analysis|edición=Segunda edición|editorial=Addison-Wesley|año=1974}} | ||
| + | [[Categoria:Matemàtiques]] | ||
[[Categoria:Séries matemàtiques]] | [[Categoria:Séries matemàtiques]] | ||
[[Categoria:Notació matemàtica]] | [[Categoria:Notació matemàtica]] | ||
Revisió de 18:58 28 set 2016
En matemàtiques, la representació decimal és una manera d'escriure @número real positius, per mig de potències del número 10 (negatives i/o positives). En el cas dels número natural, la representació decimal correspon a la escritura en base 10 usual; per als número racional, s'obté una representació decimal llimitada, o illimitada periòdica si són números periòdics; si són irracionals, la representació decimal és illimitada i no periòdica.
Definició matemàtica
La representació decimal d'un número real no negatiu r, és una expressió matemàtica escrita tradicionalment com una série del tipo
- <math> r=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{10^i}</math>
a on a0 és un entero no negatiu, y a1, a2, … son enteros tals que 0;ai9 (són els cridats «dígits» de la representació decimal). Si la seqüència de dígits és finita, els ai restants s'assumixen com 0. Si no es consideren secuencias infinitas de 9's, la representació es única.[1]
El número definit per una representació decimal també admet la següent escritura:
- <math>r=a_0,a_1 a_2 a_3\dots.\,</math>
En tal cas, a0 és la part entera de r, no necessariament entre 0 y 9, i a1, a2, a3, … són els dígitos que formen la part fraccionaria de r.
Abdós notacions són, per definició, el llímit de la successió:
- <math> r=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n \frac{a_i}{10^i}</math>.
Aproximació a número real
Tot número real pot ser aproximat al grau de precisió desijat, per mig de @número racional que posseïxen representacions decimals finites. En efecte, siga <math>x\geq 0</math>; para cada número natural <math>n\geq 1</math> hi ha un @número decimal exacte <math>r_n=a_0.a_1a_2\cdots a_n</math> tal que
- <math>r_n\leq x < r_n+\frac{1}{10^n}.\,</math>
Cas dels número entero
Tot número entero posseïx una escritura natural en el sistema de numeració decimal. Per a obtindre la seua representació decimal és suficient en escriure 100 com a denominador.
Cas dels números decimals
Un número decimal (finit) és un número que es pot escriure de la forma <math>frac{N}{10^n}</math> en N i n número entero. Un número decimal posseïx llavors una representació decimal llimitada composta per potències negatives de 10. Recíprocament: tot número que posseïx una representació decimal llimitada, és un número decimal.
Cas dels @número racional
L'expansió decimal d'un número real no negatiu x terminarà en zeros (o en *nueves) si i solament si, x és un número racional el denominador del qual és de la forma
2n5m, donde m y n són enteros no negatius.
Plantilla:Demostració= \frac{2^m5^np}{10^{n+m}}</math> para algú p. }}
Vore també
- Sistema de numeració decimal | Notació posicional
- Número decimal
- Número periòdic
- 0,9 periòdic
- IEEE 754
- Simon Stevin | Fracció decimal
Notes y referències
- ↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
Bibliografia
- Tom Apostol. , Addison-Wesley.
- Est artícul fon creat a partir de la traducció de l'artícul es.wikipedia.org/wiki/Representación decimal de la Wikipedia en espanyol, baix llicència Creative Commons-BY-SA.