Teselado en va dominar

Teselado en va dominar

Teselado en va dominar d'un quadrat

En geometria, un teselado en va dominar d'una regió en l'espai bidimensional és un recobriment de la regió per mig de dominós, peces formades per l'unió de dos quadrats iguals costat a costat. Equivalentemente, és un pareado perfecte sobre el gràfic de celosía format en colocar un vèrtiç en el centre de cada quadrat de la regió i conectant dos vèrtiços quan corresponen a quadrats adjacents.

Funcions d'altura

Per a algunes classes de mosaics sobre una reixeta en dos dimensions, és possible definir una funció d'altura associant un sancer a cada vèrtiç de la reixeta. Per eixemple, sobre un tauler d'escacs, s'assigna el nodo $A_0$ en altura 0, i per a qualsevol nodo hi ha una ruta des de $A_0$ fins a ell. En esta ruta, es definix l'altura de cada nodo $A_{n+1}$ (és dir, els cantons dels quadrats) com l'altura del nodo anterior $A_n$ més un si el quadrat a la dreta de la ruta de $A_n$ a $A_{n+1}$ és negre, i menys un en cas contrari.

Es poden trobar més detalls en Kenyon y Okounkov (2005).

Condició d'altura de Thurston

William Thurston (1990) descriu una prova per a determinar si una regió simplement conectada, formada com l'unió de quadrats unitaris en el pla, pot recobrir-se en un mosaic en va dominar. Forma un grafo que té com a vèrtiços els punts (x,i,z) en una reixeta tridimensional de valors sancers, a on cada punt està conectat a quatre veïns: si x + i és parell, llavors (x,i,z) està conectat a (x + 1,i,z + 1), (x - 1,i,z + 1), (x,i + 1, z - 1), i (x,i - 1,z - 1), mentres que si x + i és impar, llavors (x,i,z) està conectat a (x + 1,i,z - 1), (x  1,i,z - 1), (x,i + 1,z + 1), i (x,i - 1,z + 1). El llímit de la regió, vist com una seqüència de punts sancers en el pla (x,i), s'alça de forma única (una volta que s'elegix una altura d'inici) a una ruta en este grafo tridimensional. Una condició necessària per a que esta regió siga enlosable és que esta ruta deu tancar-se per a formar una curva tancada simple en tres dimensions, no obstant, esta condició no és suficient. Utilisant un anàlisis més cuidadós de la ruta llímit, Thurston va donar un criteri per a determinar l'idoneïtat d'una regió que era suficient i necessària.