Teoria de la llínea de sustentació de Prandtl

La teoria de la llínea de sustentació de Prandtl és un model matemàtic que prediu la distribució de la sustentació sobre un ala tridimensional basant-se en la seua geometria. També es coneix com la teoria de les ales de Lanchester-Prandtl.

La teoria es va expressar de forma independent per Frederick W. Lanchester en 1907, i per Ludwig Prandtl en 1918–1919 despuix de treballar en Albert Betz i Max Munk.

En este model, el vórtice lligat pert força a lo llarc de tota l'envergadura perque es desprén com una làmina de vórtices des de la vora d'eixida, en lloc de com un únic vórtice des dels extrems de les ales.

Introducció

Els perfils aéreus en dos dimensions són més fàcils d'entendre, pero no es corresponen directament en les ales finitas tridimensionals

Distribució de sustentació poc realista que no té en conte els efectes tridimensionals

Erro al crear miniatura:

Una distribució de la sustentació observada sobre un ala trapezoidal (finita)

És difícil predir analíticamente la cantitat total de sustentació que generarà un ala en una geometria determinada. Quan s'analisa un ala finita tridimensional, la primera aproximació per al seu càlcul és considerar dividida l'ala en seccions travesseres i analisar cada secció travessera de forma independent en modo bidimensional. Cada u d'estos corts es denomina perfil aerodinàmic, i és més fàcil entendre un perfil aerodinàmic que un ala tridimensional completa.

Es podria esperar que el càlcul de l'ala completa simplement implique la suma de les forces calculades independentment de cada perfil aerodinàmic. No obstant, esta aproximació és sumament incorrecta: en un ala real, la sustentació sobre cada perfil de l'ala (sustentació local per unitat d'envergadura, $l$ o $\tilde{L}$) no es correspon simplement en lo que prediu l'anàlisis bidimensional. En realitat, la cantitat local de sustentació en cada secció travessera no és independent de les seccions veïnes de l'ala sino que es veu fortament afectada per elles.

La teoria de la llínea de sustentació inclou algunes de les interaccions entre els perfils de l'ala. Permet calcular la distribució de la sustentació a lo llarc de la direcció de l'envergadura, ${\tilde{L}}_{(y)}$ basada en la geometria de l'ala (distribució de la corda, del perfil aerodinàmic i de la torsió a lo llarc de l'envergadura) i les condicions de fluix ($\rho$, $V_{\mathrm{\infty }}$, ${\alpha }_{\mathrm{\infty }}$).

Principis

La teoria de la llínea de sustentació aplica el concepte de «circulació» en dinàmica de decorreguts i el Teorema de Kutta-Yukovski,

${\tilde{L}}_{(y)}=\rho V{\Gamma }_{(y)},$

de modo que en lloc de la distribució de sustentació, l'incògnita passa a ser la distribució de la circulació sobre el tram, ${\Gamma }_{(y)}$.

La teoria de la llínea de sustentació supon ales llargues i primes en fuselage despreciable, similar a una llínea (per això el nom de "llínea de sustentació") que es mou a través del decorregut.

La teorema de Kutta-Joukovski permet expressar la sustentació local en funció de la circulació local, i això permet tindre en conte l'influència d'una secció sobre les seues veïnes. La sustentació en un tram varia com varia la circulació en el mateix. Segons les teoremes de Helmholtz, un filament de vórtice no pot començar ni terminar en un punt. Per tant, un "canvi de sustentació" en l'envergadura es modela com un vórtice en forma de ferradura, és dir, com la solsida d'un filament de vórtice aigües avall de l'ala.

Este vórtice després, l'intensitat del qual és la derivada (variació) de la distribució local de circulació de l'ala (desconeguda), $d\Gamma /dy$, influïx en el fluix a abdós costats del perfil alar.

Esta influència lateral (upwash en l'exterior, downwash en l'interior) és la clau de la teoria de la llínea de sustentació. Ara, si es coneix el canvi en la distribució de la sustentació en una secció de sustentació determinada, és possible predir cóm influïx eixa secció en la sustentació sobre les seues veïnes: la velocitat vertical induïda (upwash o downwash, ${\omega }_i$) pot quantificar-se utilisant la distribució de la velocitat dins d'un vórtice i relacionar-se en un canvi en l'àngul d'atac efectiu sobre les seccions veïnes.

En térmens matemàtics, el canvi local induït de l'àngul d'atac ${\alpha }_i$ en una secció donada pot quantificar-se en la suma integral del downwash induït per cada una de les atres seccions de l'ala. A la seua volta, la suma integral de la sustentació en cada secció de l'ala en efecte de downwash és igual a la cantitat total de sustentació desijada (coneguda).

Açò conduïx a una equació íntegre-diferencial en la forma de $L_{\text{total}}=\rho V_{\mathrm{\infty }}\underset{\text{tip}}{\overset{\text{tip}}{\int }}{\Gamma }_{(y)}dy$, where ${\Gamma }_{(y)}$ s'expressa únicament en térmens de la geometria de l'ala i de la seua pròpia variació a lo llarc de l'envergadura $dGamm{a}_{(y)}/dy$. La solució d'esta equació és una funció ${\Gamma }_{(y)}$ que descriu en exactitut la distribució de la circulació (i per tant de la sustentació) sobre un ala finita de geometria coneguda.

Vore també

• Vórtice en forma de ferradura
• Perfil alar

Bibliografia

• L. J. Clancy (1975), Aerodynamics, Pitman Publishing Limited, London. ISBN 0-273-01120-0
• Abbott, Ira H., and Von Doenhoff, Albert E. (1959), Theory of Wing Sections, Dover Publications Inc., New York. Standard Book Number 486-60586-8