Teoria de la divisibilidad

Plantilla:Contextualizar Teoria de la divisibilidad – branca del camp de l'àlgebra abstracta que estudia les relacions de divisibilidad en anells i les estructures algebraiques derivades d'esta relació.

L'objecte fonamental d'estudi és un anell $A$, en el qual per als elements:

$a,b\in A$

es definix la relació:

$a\mid b$

que significa que:

$\mathrm{\exists }c\in A:b=ac$.

Elements de la relació de divisibilidad

Divisor

Artícul principal → Divisor.

Sean $a,b\in A$.

L'element $a$ es denomina divisor de l'element $b$ si:

$a\mid b$.

De manera equivalent, existix un element:

$r\in A$

tal que:

$b=ar$.

El conjunt de tots els divisores de l'element $b$ es denota a voltes per:

$\mathrm{Div}(b)$.

En l'anell dels número entero, per eixemple:

$1,2,3,6$

són divisores positius del número:

$6$.

Múltiple

Artícul principal → Múltiple.

Sean $a,b\in A$.

L'element $b$ es denomina múltiple de l'element $a$ si:

$a\mid b$.

Açò significa que existix un element:

$r\in A$

que complix:

$b=ar$.

Cada múltiple de l'element $a$ s'obté, per tant, multiplicant-ho per algun element de l'anell.

En el conjunt dels número natural, els múltiples del número:

$4$

són, entre uns atres:

$4,8,12,16,20,\dots$.

Si:

$a\mid b$,

llavors l'element $a$ és divisor de l'element $b$, i l'element $b$ és múltiple de l'element $a$.

Elements associats

Els elements:

$a,b\in A$

són associats si existix una unitat:

$u\in A^{\times }$

tal que:

$a=ub$.

Es denota:

$a\sim b$.

En identificar els elements associats, la relació de divisibilidad forma un orde parcial.