Teoria de l'utilitat esperada

Archiu:Bernoulli utility.png

Gràfica de l'utilitat de Bernoulli.

La teoria de l'utilitat esperada és un model d'elecció racional a on els individus prenen decisions en incertitut (resultats incerts). Cada resultat possible pot quantificar-se en térmens de útils, i representar-se a través de la funció d'utilitat. L'elecció preferida, segons la teoria, serà aquella l'utilitat esperada de la qual siga la més alta; és dir, aquella utilitat que, estant ponderada per la seua provabilitat, seguix sent major que el restant.

L'hipòtesis va ser inicialment plantejada per Daniel Bernoulli en 1738 a través del concepte d'esperança moral i Gabriel Cramer en 1928. Més alvance, el teorema de l'utilitat de Von Neumann-Morgenstern va determinar les condicions necessàries i suficients per a que la teoria de l'utilitat esperada es complira. A pesar de les discrepàncies que existixen, hui eixes condicions es consideren suposts que definixen una elecció racional.

El model de Bernoulli i la paradoxa de Sant Petersburgo

Abans de el XVIII, es creïa que les decisions en incertitut es determinaven en funció al valor esperat de les loterias (que solament pren en conte el valor numèric de les conseqüències i les seues respectives provabilitats).

En 1738, Daniel Bernoulli afirmava que les decisions que prenen els individus no sorgixen solament dels resultats esperats sino també d'atres factors definits a través d'una funció d'utilitat. Per a Bernoulli, triar una opció segons el seu valor esperat no era racional perque en eixe cas els individus apostarien tot (vore paradoxa de Sant Petersburgo). El seu argument era el següent: «el guany monetari puga incrementar-se indefinidament, pero l'utilitat d'eixa riquea no s'incrementa de modo paralel».

Eixemple: Donada la següent funció d'utilitat F(x)= √x i la següent loteria:

o  (0’5:0’5) provabilitats d'obtindre (4;9)

Valor esperat= (1/2 x 4) + (1/2 x 9) = 6,5 unitats

Utilitat Esperada= (1/2 x √ 4) + (1/2 x √ 9) = 2,5 útils

Axioma d'elecció racional

En el s XX, Von Neumann i Morgenstern varen desenrollar l'idea de Bernoulli i varen plantejar quatre axioma que asseguren una elecció racional:

• Preferències Completes: Un individu té les preferències ben definides i sempre pot decidir entre les alternatives, és dir:

Per a tot A i B o be A és preferit a B, està indiferent entre abdós o B és preferit a A.

Eixemple: María es troba en la selva i deu decidir qué ruta seguir per a no perdre-se. Les seues opcions són A) Alvançar entre els arbres en un 60% de provabilitats de perdre-se, B) Seguir la corrent del riu en un 50% de provabilitats i C) Continuar per la sendera senyalada en un 30% de provabilitats. Per a ella, C és preferit a B i B és preferit a A. Per tant, María preferix continuar per la sendera (C) (En este eixemple, les preferències són completes perque estan definides sobre totes les opcions possibles i María és capaç de decidir entre A, B i C)

• Transitividad: Les preferències d'un individu, ademés de ser completes, deuen ser consistents. És dir, per a tot A, B i C en A preferit a B i B preferit a C es deu considerar que A és a lo manco tan bona com C.

Eixemple: Juan es troba en un cassino i deu decidir entre jugar al póker en un 60% de provabilitats de guanyar (A), al blackjack en un 50% (B) o la ruleta en un 40% (C).  Entre A i B, preferix A. I entre B i C, preferix B. Per tant, Juan preferix jugar al Póker (A) que a la ruleta (C).

En una loteria simple, cada conseqüència és un resultat final i les provabilitats solament depenen d'una variable aleatòria.  Per eixemple, en el joc de la moneda Ana té dos opcions: Cara o Cruz. Si ix Cara, rep un premi. En cas contrari, pert.

En les loteries compostes, les conseqüències són, al mateix temps, loteries i les provabilitats depenen de més d'una variable aleatòria. Per eixemple, en un joc de daus, este es tira i si el número és menor que 4, pert. Si és major, es torna a tirar el dau i en cas de ser major de 3 rep un premi. Si és menor, pert. Per a este cas, les provabilitats de guanyar o perdre depenen d'obtindre més d'un 4 en la primera i més d'un 3 en la segona tirada.

• Independència: “Si P* és preferida a la loteria P, llavors la combinació aP * + (1 - a)P ** serà preferida a la combinació aP +(1 - a)P** per a tot a > 0 i P**”

Donades dos loteries simples P* i P, i unes preferències definides. Si cada una formara part d'una loteria composta distinta en provabilitat a d'obtindre P* o P i provabilitat 1-a d'obtindre un P** com siga, llavors les preferències són independents de la tercera loteria simple P**.

Eixemple: Fa 1 any, Ana devia decidir cóm invertir 5000$ dels seus aforros i tenia dos opcions:

-Opció P*= Comprar abonaments i rebre en 5 anys 7500$ segur

-Opció P= Comprar accions en un 20% de provabilitats de perdre els 5000$ i un 80% de provabilitats de rebre en 5 anys 9000$

Ella preferia comprar abonaments(P*) a comprar accions(P), pero just quan anava a invertir li varen furtar tots els diners.

Un any despuix, Ana va recuperar els 5000$ i al moment d'invertir el mercat ya havia canviat (ara existixen dos estats: Estar en alça en provabilitat p o estar en baixa en provabilitat 1-p). Les seues opcions ara són:

-         Comprar abonaments i rebre els 7500$ (P*) en provabilitat a o en provabilitat 1-a rebre 6000$ (P**)= aP*+ (1-a)P**

-         Comprar accions en provabilitat a de tindre l'opció P o en provabilitat 1-a rebre 6000$ (P**) = aP+(1-a)P**

Si es complix l'axioma d'independència, Ana deurà preferir comprar abonaments perque independentment de lo que elegix, rebre 6000$ és una alternativa possible que no deu afectar les seues preferències.

• Continuïtat: Donades tres loteries A, B i C a on A és preferit a B i B és preferit a C. Si es complix l'axioma, l'individu és capaç d'indicar una provabilitat p per a estar indiferent entre B i una loteria composta L a on A ix elegida en provabilitat p i C ix elegida en provabilitat 1-p.

Eixemple de continuïtat: Suponga una loteria A a on ganes 10$ segur, una loteria B a on no reps res segur i una loteria C a on vas a la presó segur. A és preferit a B i B és preferit a C, pero açò significa que existix una provabilitat p∈ (0, 1) tal que estaria indiferent entre no rebre res segur (B) i una loteria composta L en p provabilitats de guanyar 10$ i 1-p provabilitat d'anar a la presó.

Referències

1. Kahneman, D. 2011: Pensar Ràpit Pensar Despacio.
2. Tversky, A. Kahneman, D. 1986: Rational Choice and the Framing of Decisions: The Journal of Business, Vol. 59, No. 4, Part 2: The Behavioral Foundations of EconomicTheory. (Oct., 1986), pp. S251-S278.
3. Kreps, D. 1995: Curs de Teoria Microeconómica. Editorial Mc Graw-Hill. Madrit,Espanya.
4. Levin, J. 2006: Choice under Uncertainty. Standford University: https://web.stanford.edu/jdlevin/Econ%20202/Uncertainty.pdf.
5. Moral expectation, per Jeff Miller, Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (M). Consultat el 24 de març de 2011.