Teoria de Burmester

Archiu:Caps block 0 03 Kurbelschwinge 01-simple.gif

Mecanisme de quatre barres. En color vert, les dos manivelas (cada una en una articulació fixa i una atra mòvil. En color blau, la biela que conecta les dos manivelas

La Teoria de Burmester és un conjunt de principis matemàtics que permeten generalisar i descriure el comportament cinemàtic de distints dispositius mecànics en el pla. Rep el nom del seu creador, el geómetra alemà especialiste en cinemàtica Ludwig Burmester (1840-1927).

Burmester va introduir tècniques geomètriques per a la síntesis del moviment dels mecanismes a finals de el XIX. El seu enfocament era deduir directament les llimitacions geomètriques del moviment dels vínculs flotants des del punt de vista pràctic dels inventors. Per mig d'este enfocament, un mecanisme de quatre barres es definix com un enllaç flotant en dos punts determinats obligats a moure's segons dos circumferències.

El seu procediment partix d'un conjunt de configuracions geomètriques (a sovint cridades posicions de treball) del moviment de cada enllaç flotant, com una série de instantànees del seu desplaçament obligat en el dispositiu analisat. El disseny d'una biela que vincule les dos manivelas es convertix ara en la busca d'un punt en l'enllaç flotant que en cada una de les posicions de síntesis de la seua trayectòria se situe sobre un círcul. La dimensió de la manivela és la distància des del punt en l'enllaç flotant, cridat punt circular, en el centre del círcul sobre el que es desplaça, denominat punt central. Dos manivelas dissenyades d'esta manera formen en la biela l'enllaç de quatre barres buscat.

Esta formulació de la síntesis matemàtica d'un mecanisme de quatre barres i la solució a les equacions resultants es coneix com la Teoria de Burmester. L'enfocament ha segut generalisat posteriorment per a la síntesis de mecanismes esfèrics i espacials més complexos.

Síntesis finita de posicions

Formulació geomètrica

La Teoria de Burmester busca punts en un cos que es mouen en trayectòries que es troben en una circumferència, cridats punts circulares. El dissenyador aproxima el moviment desijat del mecanisme per mig d'un número finito de posicions de treball, Burmester va demostrar que existixen a lo manco cinc punts de treball que ademés són circulares. Trobar estos punts requerix resoldre cinc equacions de segon grau en cinc incògnites, lo que li va dur a utilisar les tècniques de la geometria descriptiva. Les construccions gràfiques de Burmester encara apareixen hui en dia en els llibres de text sobre teoria de màquines.

Archiu:Pole-object- caps block 22 .png

P és el pol del desplaçament des de A¹B¹ fins a A²B²

Dos posicions: Com a eixemple, considerar una tasca definida per dos posicions de la peça d'enllaç (representades per les dos siluetes en forma de núvol que apareixen en la figura). Seleccionar dos punts A i B en la peça, les posicions de la qual definixen els segments A¹B¹ i A²B². És fàcil vore que A és un punt circular en un centre situat en la mediatriz del segment A¹A². De la mateixa manera, B és un punt circular en un centre situat en la mediatriz de B¹B². És immediat deduir que es poden construir distints mecanismes de quatre barres capaces de moure la figura entre les dos posicions especificades, situant en un punt qualsevol de la mediatriz del segment A¹A² la ròtula fixa de la manivela que s'articule en A, i en la mediatriz de B¹B² la ròtula fixa de la manivela que s'articule en B. El punt P és clarament especial, ya que és una frontiça que permet el moviment de rotació pur des de A¹B¹ fins a A²B². Es diu el pol de desplaçament relatiu.

Tres posicions: Si el dissenyador especifica tres posicions de treball, llavors els punts A i B del cos són punts circulares cada u en un únic punt central. El punt central para A és el centre del círcul que passa a través de les seues tres posicions: A¹, A² i A³. De la mateixa manera, el punt central per a B és el centre del círcul que passa per B¹, B² i B³. Llavors, per a tres posicions de treball, s'obté una articulació de quatre barres per cada parella de punts A i B elegits com a articulacions en moviment.

Quatre posicions: La solució gràfica per al problema de síntesis es torna més interessant en el cas de quatre posicions de treball, perque no tots els punts del cos són punts circulares. Quatre posicions de treball produïxen sis pols de desplaçament relatiu, i Burmester seleccionava quatre d'ells per a formar un quadrilàter de pols oposts, que després utilisava per a generar gràficament les curves de punts circulares (Kreispunktcurven). Burmester també va demostrar que la curva de punts circulares és una curva cúbica circular en el cos en moviment.

Cinc posicions: Per a solucionar el cas de cinc posicions de treball, Burmester troba l'intersecció de la curva del punt circular generat pel quadrilàter de pols oposts d'un conjunt de quatre de les cinc posicions de treball, en la curva del punt circular generada pel quadrilàter de pols oposts d'un conjunt diferent de quatre posicions de treball. Cinc posicions impliquen dèu pols de desplaçament relatiu, que produïxen quatre diferents quadrilàters de pols oposts, cada u en la seua pròpia curva del punt circular. Burmester va demostrar que estes curves es creuen en un màxim de quatre punts, cridats punts de Burmester, cada u dels quals traça cinc punts en un círcul al voltant d'un punt central. Degut a que dos punts girant definixen un mecanisme de quatre barres, estos quatre punts poden produir fins a sis conexions de quatre barres que moguen el cos a través de les cinc posicions de treball especificades.

Formulació algebraica

L'enfocament de Burmester a la síntesis d'un mecanisme de quatre barres es poden formular matemàticament per mig de l'introducció de transformacions de coordenades [T_i] = [A_i, D_i], i = 1, ..., 5, en a on [A] és una matriu de rotació de 2x2 i d és un vector de translació 2x1, que definix les posicions de treball d'un bastidor mòvil M especificades pel dissenyador.

L'objectiu del procediment de síntesis consistix en calcular les coordenades w = (w_x, w_i) d'una articulació en moviment unida al bastidor mòvil M i les coordenades d'un pivot fix G = (o, v) en el marc fix F, que tenen la propietat de que w es desplaça en un círcul de ràdio R al voltant de G. La trayectòria de w es definix per les cinc posicions de treball, tals com

${𝐖}^i=[T_i]𝐰=[A_i]𝐰+{𝐝}_i,i=1,\dots ,5.$

llavors, les coordenades W i G deuen satisfer les cinc equacions,

$({𝐖}^i-𝐆)\cdot ({𝐖}^i-𝐆)=R^2,i=1,\dots ,5.$

S'elimina el radi desconegut R restant la primera equació del restant per a obtindre les quatre equacions de segon grau en quatre incògnites,

$({𝐖}^i-𝐆)\cdot ({𝐖}^i-𝐆)-({𝐖}^1-𝐆)\cdot ({𝐖}^1-𝐆)=0,i=2,\dots ,5.$

Estes equacions de síntesis poden resoldre's numèricament per a obtindre les coordenades w = (w_x, w_i) i G = (o, v) que localisen les articulacions fixes i en moviment d'una manivela, que pot ser utilisada com a part d'una articulació de quatre barres. Burmester va provar que són com a molt quatre manivelas, que es poden combinar per a produir com a molt sis vínculs de quatre barres capaces de guiar el bastidor mòvil a través de les cinc posicions de treball especificades.

És útil observar que les equacions de síntesis poden ser manipulades en la forma

$({𝐖}^i-{𝐖}^1)\cdot (\frac{{𝐖}^i+{𝐖}^1}{2}-𝐆)=0,i=2,\dots ,5,$

lo que és l'equivalent algebraic de la condició de que l'articulació fixa G es troba en les mediatrices de cada u dels quatre segments Wⁱ - W¹, i = 2, ...; 5.

Síntesis d'entrada-eixida

Una de les aplicacions més comunes d'un mecanisme de quatre barres pren la forma d'una vareta que conecta dos manivelas, de manera que la rotació de la primera manivela acciona la rotació de la segona. Les manivelas estan articulades a un bastidor fix, i reben el nom de manivela d'entrada i manivela d'eixida, i la biela de conexió és denominada "enllaç". L'enfocament de Burmester per al disseny d'una articulació de quatre barres es pot utilisar per a obtindre les dimensions d'una biela que lligue cinc ànguls especificats de la manivela d'entrada en cinc ànguls especificats de la manivela d'eixida.

Per a analisar el problema, es denominen θ_i, i = 1, ..., 5 les posicions angulars de la manivela d'entrada, i ψ_i, i = 1, ..., 5 els ànguls corresponents de la manivela d'eixida. Per a simplificar el càlcul l'articulació fixa de la manivela d'entrada se situa en l'orige de coordenades del bastidor fix, O = (0, 0), i se situa l'articulació fixa de la manivela d'eixida en C = (c_x, c_i), d'acort en les especificacions del dissenyador. Les incògnites en esta síntesis de problemes són les coordenades g = (g_x, g_i) de l'articulació mòvil de la manivela d'entrada i les coordenades w = (w_x, w_i) de l'unió de la manivela d'eixida en la biela, mides en els seus marcs de referència respectivament.

Mentres les coordenades de w i g no es coneixen, les seues trayectòries en el marc fix estan donades per

${𝐆}^i=[A({\theta }_i)]𝐠,{𝐖}^i=[A({\psi }_i)]𝐰+𝐂,i=1,\dots ,5,$

a on [A(•)] indica la rotació per l'àngul donat. Les coordenades de w i g deuen satisfer les cinc equacions de restricció,

$({𝐖}^i-{𝐆}^i)\cdot ({𝐖}^i-{𝐆}^i)=R^2,i=1,\dots ,5.$

S'elimina la llongitut desconeguda de la biela R restant la primera equació del restant per a obtindre les quatre equacions de segon grau en quatre incògnites

$({𝐖}^i-{𝐆}^i)\cdot ({𝐖}^i-{𝐆}^i)-({𝐖}^1-{𝐆}^1)\cdot ({𝐖}^1-{𝐆}^1)=0,i=2,\dots ,5.$

Estes equacions de síntesis es poden resoldre numèricament per a obtindre les coordenades w = (w_x, w_i) i g = (g_x, g_i) que localisen la posició de les articulació del mecanisme de quatre barres.

Esta formulació de la síntesis d'entrada-eixida d'un mecanisme de quatre barres és una inversió de la síntesis de posicions finitas, a on el moviment de la manivela d'eixida en relació en la manivela d'entrada és especificada pel dissenyador. Des d'este punt de vista, l'enllaç OC en planta és una manivela que satisfà les posicions finitas especificades del moviment de la manivela d'eixida en relació en la manivela d'entrada, i en els seus resultats Burmester va demostrar l'existència d'a lo manco una biela d'enllaç. Més encara, els resultats de Burmester demostren que pot haver tres configuracions que proporcionen la desijada relació d'entrada-eixida.