Teorema de Meusnier

Teorema de Meusnnier: la curvatura de la secció normal N en P, permet obtindre la curvatura de qualsevol atra secció (cc) en la que compartix la tangente t, per mig del coseno de l'àngul θ

En geometria diferencial, la teorema de Meusnier establix que en qualsevol punt P d'una curva inscrita en una superfície donada, la seua ràdio de curvatura és igual al radi de curvatura de la secció normal a la superfície que passa per la tangente a la curva en P, dividit pel coseno de l'àngul format entre el pla d'esta secció normal i el pla osculador de la curva:

ρ = RN / cos θ

sent:

• ρ = el radi de curvatura en el punt P d'una curva inscrita en una superfície en una tangente donada
• R_N = el radi de curvatura normal en el punt P segons la tangente donada
• θ = l'àngul que formen el vector normal a la superfície i el vector normal a la curva (abdós en P)

De forma anàloga, es pot expressar en funció dels valors de les curvatura (els inversos dels radis de curvatura):

κ = KN · cos θ

sent:

• κ = 1 / ρ = la curvatura en el punt P d'una curva inscrita en una superfície en una tangente donada
• K_N = 1 / R_N = la curvatura normal en el punt P segons la tangente donada
• θ = l'àngul que formen el vector normal a la superfície i el vector normal a la curva (abdós en P)

Ademés, les circumferències osculatrices de totes les curves que compartixen la mateixa tangente a la superfície, formen una esfera.

Història

La teorema va ser enunciada per primera volta per Jean Baptiste Meusnier en 1776, pero no es va publicar fins a 1785.

A lo manco abans de 1912, varis escritors en anglés tenien la costum de cridar al resultat "teorema de Meunier", encara que no hi ha evidència de que el propi Meusnier alguna volta deletreara el seu nom d'esta manera. Esta ortografia alternativa del nom de Meusnier també apareix en Arc de Triumfo en París.

Expressió matemàtica

Siga una superfície $\Sigma$ diferenciable; i siga una curva $\alpha :I⟶\Sigma$ regular inscrita en la pròpia superfície. A continuació, es definixen dos camps de vectores normals unitaris: ${\hat{n}}_{\Sigma }$ (el de la superfície) i ${\hat{n}}_{\alpha }$ (el de la curva), que per lo general no són coincidentes.

Llavors, és possible relacionar la curvatura normal de la superfície $k$ en la direcció de la curva $\alpha$ sobre el camp unitari ${\hat{n}}_{\alpha }$ i la curvatura de la curva $k_{\alpha }$. La teorema de Meusnier establix que la curvatura de la superfície en la direcció de la curva $\alpha$ i la curvatura de la curva mateixa estan lligades per la relació:

$k=k_{\alpha }\cdot ({\hat{n}}_{\Sigma }\cdot {\hat{n}}_{\alpha })$

En este sentit, les curvatura normals de la superfície són les curvatura de les curves tallades pels plans normals a la superfície en un punt donat.

D'una manera més senzilla, es pot enunciar com que el radi de curvatura d'una secció plana oblicua la normal forma de la qual en la normal a la superfície un àngul gamma, és igual al radi de curvatura de la secció normal que té la mateixa recta tangente, multiplicat pel coseno de gamma.

Vore també

• Teorema de Euler

Bibliografia

• Teorema de Meusnier Universitat Johannes Kepler de Linz, Institut de Geometria Aplicada
• Teorema de Meusnier en Springer Online

• Porteous, Ian R. (2001). «Theorems of Euler and Meusnier», Geometric Differentiation, Cambridge University Press, pp. 253–5. ISBN 0-521-00264-8.