Teorema de Jacobson-Bourbaki

En àlgebra, la teorema de Jacobson-Bourbaki és una teorema utilisada per a estendre la teoria de Galois a extensions de camps que no necessiten ser separables. Va ser presentat per Nathan jacobson (para camps conmutativos i estés a camps no conmutativos per Jacobson (1947) i Henri Cartan (1947) qui va atribuir el resultat al treball inèdit de Nicolas Bourbaki. L'extensió de la teoria de Galois a extensions normals es diu correspondència de Jacobson-Bourbaki, que reemplaça la correspondència entre alguns subcampos d'un camp i alguns subgrups d'un grup de Galois per una correspondència entre alguns anells de subdivisió d'un anell de divisió i algunes subálgebras d'un àlgebra associativa.

La teorema implica tant la correspondència de Galois habitual per a subcampos d'una extensió de Galois com la correspondència de Galois de Jacobson per a subcampos d'una extensió purament inseparable d'exponent com a màxim 1.

Declaració

Supongam que L és un anell de divisió. La teorema de Jacobson-Bourbaki establix que existix una correspondència natural 1:1 entre:

• Anells de divisió K en L d'índex finito n (en atres paraules, L és un espai vectorial esquerre de dimensió finita sobre K).
• K -àlgebra unitàries de dimensió finita n (com a K -espais vectorials) contingudes en l'anell d'endomorfismes del grup aditiu de K.

L'anell de subdivisió i la subálgebra corresponent són conmutantes entre sí.

Jacobson (1956, Chapter 7.2) va donar una extensió als anells de subdivisió que podrien tindre un índex infinit, que corresponen a subálgebras tancades en la topología finita.