Teorema de Euler sobre funcions homogénees

La teorema de Euler sobre funcions homogénees és una caracterisació de les funcions homogénees.

Enunciat

Una funció $f=f(x,y,z)$ es diu funció homogénea de grau k si per a qualsevol valor arbitrari $\lambda$:

Si una funció $f=f(x,y,z)$ és una funció homogénea de grau k podem afirmar que:

De manera més general, per a n variables:

$\sum _{i=1}^n{x}_i\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)=kf$

Demostració

Escrivint $f=f(x_1,\dots ,x_n)$ i $𝐱=(x_1,\dots ,x_n)$

diferenciant l'equació sobre $\alpha$ trobem, aplicant la regla de la cadena, que

Aixina que:

En concret, elegint $\alpha =1$, l'anterior equació pot reescriure's com:

Per a una demostració del recíproc, vore [1].

• Supongam que $f:{ℝ}^n\to ℝ$ és diferenciable i homogénea de grau k. Llavors les seues derivades parcials de primer orde $\partial f/\partial x_i$ són funcions homogénees de grau k-1.

Este resultat es prova de la mateixa manera que la teorema de Euler. Escrivint $f=f(x_1,\dots ,x_n)$ i diferenciat l'equació

sobre $x_i$, trobem per la regla de la cadena que:

I per tant:

I finalment: