Successió de Padovan

Archiu:Padovan triangles.png

Espiral de triànguls equiláteros on la llongitut dels costats seguixen la successió de Padovan.

La successió de Padovan és la seqüència de número entero P(n) definida pels següents valors inicials

$P(0)=P(1)=P(2)=1,$

i la següent relació de recurrencia

$P(n)=P(n-2)+P(n-3).$

Els primers valors de P(n) són

$1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21,28,37,\mathrm{...}$

La successió de Padovan va ser nomenada pel matemàtic Richard Padovan, quí va atribuir el seu descobriment a l'arquitecte holandés Hans van der Laan. En primera instància va ser descrita pel matemàtic Ian Stewart en el seu artícul Mathematical Recreations de la revista Scientific American en juny de 1996.

Relacions recursivas

La successió de Padovan també satisfà les següents relacions:

$P(n)=P(n-1)+P(n-5)$

$P(n)=P(n-2)+P(n-4)+P(n-8)$

$P(n)=2P(n-2)-P(n-7)$

$P(n)=P(n-3)+P(n-4)+P(n-5)$

$P(n)=P(n-3)+P(n-5)+P(n-7)+P(n-8)+P(n-9)$

$P(n)=P(n-4)+P(n-5)+P(n-6)+P(n-7)+P(n-8)$

$P(n)=4P(n-5)+P(n-14).$

Existix una atra successió anomenada Seqüència de Perrin que satisfà les mateixes relacions recursivas en diferents valors inicials. Es pot obtindre a partir de la de Padovan per mig de la següent fòrmula:

$\mathrm{P}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)=P(n+1)+P(n-10).$

Extensió per a valors negatius

Les successió de Padovan es pot estendre en valors negatius amprant la següent relació:

$P(-n)=P(-n+3)-P(-n+1).$

Esta extensió és semblada a l'establida per a la Successió de Fibonacci en el mateix propòsit:

Estenent P(n) a valors negatius s'obtenen els següents valors:

$\mathrm{...},-7,4,0,-3,4,-3,1,1,-2,2,-1,0,1,-1,1,0,0,1,0,1,1,1,\mathrm{...}$