Senyal analítica

La senyal analítica de Gabor corresponent a una senyal temporal real, és una senyal complexa l'espectre de la qual de freqüències és nul per a freqüències negatives, i la part real de les quals és igual a la senyal original.

Definició

La senyal analítica $x_a(t)$ es construïx a partir d'una senyal real.

Siga $x(t)$ una senyal real que la seua transformada de Fourier és $X(\omega )$. Construïm ara la següent funció:

$X_a(\omega )=\{\begin{array}{cc}2X(\omega )& \text{si}\omega >0\\ X(\omega )& \text{si}\omega =0\\ 0& \text{si}\omega <0\end{array}$

La senyal analítica corresponent a $x(t)$ és la transformada de Fourier inversa de $X_a(\omega )$:

$x_a(t)={ℱ}^{-1}\{X_a(\omega )\}$

Construcció alternativa

La senyal analítica es pot construir també a partir de la transformada de Hilbert de $x(t)$.

Siga $x_h(t)=\mathscr{H}\{x(t)\}$ la transformada de Hilbert de $x(t)$. Ara podem construir la senyal analítica de la següent manera:

$x_a(t)=x(t)+i{x}_h(t)$

a on «i» és l'unitat imaginària.