Resposta a impuls

La resposta a un impuls d'un sistema simple d'àudio. Es mostra primer l'impuls original, després en les altes freqüències reforçades, i per últim en les baixes freqüències reforçades.

La resposta a un impuls o resposta impulsional d'un sistema és la que es presenta en l'eixida quan en l'entrada s'introduïx un impuls. Un impuls és el cas llímit d'un pols infinítamente curt en el temps pero que manté la seua àrea o integral (per lo que té un pico d'amplitut infinitament alt). Encara que és impossible obtindre amplitut infinita en un interval infinitament curt en qualsevol sistema real, és un concepte útil com a idealisació, degut principalment a la simplicitat del seu us en l'integració.

Bases matemàtiques

Matemàticament, un impuls es representa per una funció Delta de Dirac. Quan es treballa en sistemes discrets l'impuls s'aproxima per mig d'un pols que té àrea unitat i d'ample té el periodo de temps entre dos mostres. Si el temps entre dos mostres consecutives x[n] i x[n+1] ho prenem com, $\tau$, llavors el valor de l'impuls serà l'invers de $\frac{1}{\tau }$, de modo que l'àrea, que és el seu producte, valga l'unitat. En l'explicació posterior dels Sistemes Discrets es pren, $\tau =1$, de modo que el seu invers també ho serà, pero cal tindre en conte per al processament de senyals en les que la base de temps siga diferent ajustar este paràmetro per a no canviar l'energia de la senyal d'eixida erròneament.

Sistemes Continus

En el cas de sistemes continus en el temps, s'utilisa una llògica anàloga als sistemes discrets, reemplaçant les sumatorias per integrals i l'impuls discret per la Delta de Dirac, $\delta (t)$.

Siga $T$ un sistema llineal i invariante en el temps (LTI). Qualsevol senyal contínua d'entrada $x(t)$ pot representar-se com una suma infinita (integral) d'impulsos desplaçats i ponderats per mig de la propietat de tamizado de la funció delta:

$x(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )\delta (t-\tau )d\tau$

Aplicant l'operador del sistema $T$ a abdós costats de l'equació i aprofitant la propietat de linealidad (que permet moure l'operador dins de l'integral i aplicar-ho solament a la funció delta, ya que $x(\tau )$ actua com un coeficient constant per a eixa instància de temps):

$y(t)=T\{x(t)\}=T\{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )\delta (t-\tau )d\tau \}$

$y(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )T\{\delta (t-\tau )\}d\tau$

Ya que el sistema és invariante en el temps, si la resposta a l'impuls en l'orige és $h(t)=T\{\delta (t)\}$, llavors la resposta a un impuls desplaçat $\delta (t-\tau )$ serà simplement eixa mateixa resposta desplaçada $h(t-\tau )$. Substituint açò en l'equació:

$y(t)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(\tau )h(t-\tau )d\tau$

Esta expressió es coneix com l'Integral de Convolución i demostra que, per a caracterisar completament qualsevol sistema LTI continu, n'hi ha prou en conéixer la seua resposta a l'impuls.

Sistemes Discrets

Supongam que T és un sistema discret, és dir, que pren una entrada x[n] i produïx una eixida i[n]:

$y\left[n\right]=T\left\{x\left[n\right]\right\}$

Per lo tant T és un operador actuant sobre successions (a través dels número entero), produint noves successions. Tindre en conte que T no és el sistema, sino una representació matemàtica del sistema. T pot ser no llineal, per eixemple:

$T\left\{x\left[n\right]\right\}=x^2\left[n\right]$

o llineal, com:

$T\left\{x\left[n\right]\right\}=x[n-1]$.

Supongam que T és llineal. Llavors

$T\{x\left[n\right]+y\left[n\right]\}=T\left\{x\left[n\right]\right\}+T\left\{y\left[n\right]\right\}$

i

$T\left\{\lambda x\left[n\right]\right\}=\lambda T\left\{x\left[n\right]\right\}$

Supongam també que T és invariante en l'entorn, és dir que si $y\left[n\right]=T\left\{x\left[n\right]\right\}$ llavors $y[n-k]=T\left\{x[n-k]\right\}$. En tal sistema qualsevol eixida pot calcular-se en térmens de l'entrada i de la successió, resposta a impuls, quedant caracterisat el sistema per complet. Açò pot vore's de la següent manera: Prenent l'identitat

$x\left[n\right]=\sum _{k}x\left[k\right]\delta [n-k]$

i aplicant T en abdós costats

$T\left\{x\left[n\right]\right\}=T\left\{\sum _{k}x\left[k\right]\delta [n-k]\right\}$

Per supost, açò té sentit sol si

$\sum _{k}x\left[k\right]\delta [n-k]$

cau en el domini de T. Pero com a T és llineal i invariante en l'entorn podem escriure

$T\left\{x\left[n\right]\right\}=\sum _{k}x\left[k\right]T\left\{\delta [n-k]\right\}$

I com l'eixida i[k] està donada per

$y\left[k\right]=T\left\{x\left[k\right]\right\}$

podem escriure

$y\left[n\right]=\sum _{k}x\left[k\right]T\left\{\delta [n-k]\right\}$

Reemplaçant l'eixida del sistema a la $\delta [n-k]$, obtindrem, per definició, la resposta impulsiva

$h[n-k]=T\left\{\delta [n-k]\right\}$

Com s'observa, $h\left[n\right]$ és l'eixida del sistema quan la seua entrada és un impuls discret, una delta de Dirac discreta.

substituint, obtenim finalment

$y\left[n\right]=\sum _{k}x\left[k\right]h[n-k]$

La successió $h\left[n\right]$ és la resposta a impuls del sistema representat per T.

S'obtenen resultats similars en sistemes de temps continu.

Com a eixemple conceptual considere un globo dins d'un recint, ubicat en un punt p. El globo explota i fa un sò similar a un "pum". Ací el recint és un sistema T que pren el sò "pum" i ho dispersa a través de múltiples reflexions. L'entrada ${\delta }_p[n]$ és el "pum", similar (degut en part a la seua curta duració) a una delta de Dirac, i l'eixida $h[n,p]$ és la successió del sò afectat pel sistema, i depén de l'ubicació (punt p) del globo. Si coneixem $h[n,p]$ per a cada punt del recint coneixem la resposta a impuls per complet del saló, i és possible predir la resposta del mateix a qualsevol sò produït en ell.