Problema de Fagnano

Erro al crear miniatura:

Triàngul órtico: $\mathrm{△}DEF$
Triànguls inscrits: $\mathrm{△}DEF,\mathrm{△}GHI$
$|DE|+|EF|+|FD|\le |GH|+|HI|+|IG|$

En geometria, el problema de Fagnano és una qüestió en la que es planteja que:

Per a un triàngul agut determinat, determine's el triàngul inscrit de perímetro mínim

Història

Este problema d'optimisació va ser ideat pel matemàtic italià Giovanni Fagnano en 1775. La prova original de Fagnano va utilisar métodos de càlcul infinitesimal i un resultat intermig dau pel seu pare Giulio Carlo de' Toschi vaig donar Fagnano. Més vesprada, no obstant, també es varen descobrir vàries proves geomètriques, entre uns atres per Hermann Amandus Schwarz i Lipót Fejér. Estes proves usen les propietats geomètriques de les reflexions per a determinar una ruta mínima que represente el perímetro.

Principis físics

Es troba una solució per a una analogia física imaginant colocar una banda elàstica que seguix la llei d'elasticitat de Hooke al voltant dels tres costats d'un marc triangular $ABC$, de modo que puga esgolar-se suaument. Després, la banda de goma terminaria en una posició que minimisa la seua energia elàstica i, per lo tant, minimisa la seua llongitut total. Esta posició proporciona el triàngul perimetral mínim.

La tensió dins de la banda de goma és la mateixa en tots els llocs en la banda de goma, per lo que en la seua posició de descans, es té pel teorema de Lami que

$\mathrm{\angle }bcA=\mathrm{\angle }acB,\mathrm{\angle }caB=\mathrm{\angle }baC,\mathrm{\angle }abC=\mathrm{\angle }cbA$

Archiu:Altitudes and orthic triangle SVG.svg

Triàngul abc és el triàngul órtico del triàngul ABC

Per lo tant, este triàngul mínim és el triàngul órtico.

Referències

• Heinrich Dörrie: 100 grans problemes de les matemàtiques elementals: la seua història i solució. Dover Publications 1965, p. 359-360. ISBN 0-486-61348-8, problema 90 (versió restringida en llínea (Google Books))
• Paul J. Nahin: Si més no és lo millor: cóm els matemàtics varen descobrir moltes maneres inteligents de fer les coses lo més chicotetes possible (o lo més grans). Princeton University Press 2004, ISBN 0-691-07078-4, p. 67
• Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L.:Geometry Revisited . Washington, DC: Matemàtiques. Assoc. Amer. 1967, pp. 88-89.
• H.A. Schwarz: Gesammelte Mathematische Abhandlungen, vol. 2 . Berlín 1890, pp. 344-345. (en llínea en l'Internet Archive, alemà)