Polinomis de Dickson

En matemàtiques, els polinomis de Dickson, denotats com $D n (x, α)$ , formen una seqüència polinomial introduïda perLeonard Eugene Dickson (1897). Varen ser redescubiertos perBrewer (1961) en el seu estudi de les sumixques de Brewer i, en ocasions, encara que rarament, també li'ls coneix com a polinomis de Brewer.

Sobre els número complex, els polinomis de Dickson són essencialment equivalents als polinomis de Chebyshov en un canvi de variable, i, de fet, els polinomis de Dickson a voltes es denominen com a polinomis de Chebyshov.

Generalment s'estudien sobre un cos finit, a on a voltes poden no ser equivalents als polinomis de Chebyshov. Una de les principals raons d'interés en estos polinomis és que per a $α$ fix, donen molts eixemples de polinomis de permutació; polinomis que actuen com permutació de camps finitos.

Definició

Primer tipo

Per a $n > 0$ sancer i $α$ en un anell conmutativo $R$ en identitat (a sovint elegit per a ser el camp finit $F q = GF(q)$ ) els polinomis de Dickson (de primer tipo) sobre $R$ estan donats per^[1]

D_{n} (x, α) = \sum_{i = 0}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} \frac{n}{n - i} (\binom{n - i}{i}) (- α)^{i} x^{n - 2 i} .

Els primers polinomis de Dickson són

\begin{matrix} D_{1} (x, α) & = x \\ D_{2} (x, α) & = x^{2} - 2 α \\ D_{3} (x, α) & = x^{3} - 3 x α \\ D_{4} (x, α) & = x^{4} - 4 x^{2} α + 2 α^{2} \\ D_{5} (x, α) & = x^{5} - 5 x^{3} α + 5 x α^{2} . \end{matrix}

També poden ser generats per relació de recurrencia para $n \geq 2$ ,

D_{n} (x, α) = x D_{n - 1} (x, α) - α D_{n - 2} (x, α),

en les condicions inicials $D 0 (x, α) = 2$ i $D 1 (x, α) = x$ .

Segon tipo

Els polinomis de Dickson de segon tipo, $I n (x, α)$ , estan definits per

E_{n} (x, α) = \sum_{i = 0}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} (\binom{n - i}{i}) (- α)^{i} x^{n - 2 i} .

No s'han estudiat molt i tenen propietats similars a les dels polinomis de Dickson de primer tipo. Els primers polinomis de Dickson de segon tipo són

\begin{matrix} E_{0} (x, α) & = 1 \\ E_{1} (x, α) & = x \\ E_{2} (x, α) & = x^{2} - α \\ E_{3} (x, α) & = x^{3} - 2 x α \\ E_{4} (x, α) & = x^{4} - 3 x^{2} α + α^{2} . \end{matrix}

També poden ser generats per la relació de recurrencia per a $n \geq 2$ ,

E_{n} (x, α) = x E_{n - 1} (x, α) - α E_{n - 2} (x, α),

en les condicions inicials $I 0 (x, α) = 1$ i $I 1 (x, α) = x$ .

Propietats

Els $D n$ són els únics polinomis monónicos que satisfan l'equació funcional

D_{n} (u + \frac{α}{u}, α) = u^{n} + {(\frac{α}{u})}^{n},

a on $α \in F q$ i $o \neq 0 \in F q 2$ .^[2]

També satisfan una regla de composició,^[2]

D_{m n} (x, α) = D_{m} (D_{n} (x, α), α^{n}) = D_{n} (D_{m} (x, α), α^{m}) .

$I n$ també satisfà una equació funcional^[2]

E_{n} (y + \frac{α}{y}, α) = \frac{y^{n + 1} - {(\frac{α}{y})}^{n + 1}}{y - \frac{α}{y}},

per a $i \neq 0$ , $i 2 \neq α$ , en $α \in F q$ i $i \in F q 2$ .

El polinomi de Dickson $i = D n$ és una solució de l'equació diferencial ordinària

(x^{2} - 4 α) y^{″} + x y^{'} - n^{2} y = 0,

i el polinomi de Dickson $i = I n$ és una solució de l'equació diferencial

(x^{2} - 4 α) y^{″} + 3 x y^{'} - n (n + 2) y = 0 .

Els seus funcions generadores ordinàries són

\begin{matrix} \sum_{n} D_{n} (x, α) z^{n} & = \frac{2 - x z}{1 - x z + α z^{2}} \\ \sum_{n} E_{n} (x, α) z^{n} & = \frac{1}{1 - x z + α z^{2}} . \end{matrix}

Referències

↑ Lidl & Niederreiter 1983, p. 355
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Mullen & Panario 2013, p. 283

Bibliografia

(1961).«On certain character sums».Transactions of the American Mathematical Society.99

241–245.ISSN 0002-9947.doi:10.2307/1993392.

Dickson, L. E. (1897). “The analytic representation of substitutions on a power of a prime number of letters with a discussion of the linear group I,II”. Ann. of Math. 11 (1/6): 65–120; 161–183. The Annals of Mathematics. doi:10.2307/1967217. ISSN 0003-486X.
Fried, Michael (1970). “On a conjecture of Schur”. Michigan Math. J. 17: 41–55. doi:10.1307/mmj/1029000374. ISSN 0026-2285.

(1983) Finite fields, 1st edició (vol. 20), Addison-Wesley. ISBN 0-201-13519-1.
{{{1}}} en Springer
(2013).«Handbook of Finite Fields».CRC Press.
Müller, Peter (1997). “A Weil-bound free proof of Schur's conjecture”. Finite Fields and Their Applications 3: 25–32. doi:10.1006/ffta.1996.0170.
(1991) Topics in Polynomials of One and Several Variables and Their Applications: A Legacy of P.L.Chebyshev, World Scientific, pp. 371–395. ISBN 981-02-0614-3.
Turnwald, Gerhard (1995). “On Schur's conjecture”. J. Austral. Math. Soc. Ser. A 58 (03): 312–357. doi:10.1017/S1446788700038349.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Polinomios de Dickson» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[LN355-1] Lidl & Niederreiter 1983, p. 355

[MP283-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Mullen & Panario 2013, p. 283

[1]

[2]