Paradoxa dels dos sobres

Dos sobres.

El problema dels dos sobres, també conegut com a paradoxa del canvi, és un acertijo o paradoxa llògic, filosòfic i de provabilitat i matemàtiques recreatives, d'especial interés en teoria de la decisió i l' interpretació bayesiana de la provabilitat.

Una possible formulació del problema és la següent:

"Digam que et donen dos sobres indistinguibles, cada u dels quals conté una suma positiva de diners. Un sobre conté dos voltes més que l'atre. Pots triar un sobre i quedar-te en qualsevol cantitat que continga. Tries un sobre a l'encert, pero abans d'obrir-ho se t'oferix la possibilitat de prendre l'atre sobre en el seu lloc."

És possible argumentar que serà ventajós per a tu canviar els sobres, demostrant que el valor esperat d'un canvi de sobres és major que la cantitat que té en la teua sobre. Açò conduïx a l'absurt de que és beneficiós canviar sobres indefinidament.

Les raons per a canviar de sobres:

1. Siga A la cantitat que conté la meua sobre.
2. La provabilitat de que A siga el sobre en menys diners és 1/2, i la de que siga el sobre en la cantitat major és també 1/2.
3. L'atre sobre pot contindre o be 2A o be A/2.
4. Si A és la cantitat menor llavors l'atre sobre conté 2A.
5. Si A és la cantitat major llavors l'atre sobre conté A/2.
6. Per lo tant l'atre sobre conté 2A en provabilitat 1/2 i A/2 en provabilitat 1/2.
7. Per lo tant el valor esperat de diners en l'atre sobre és
   
   $\frac{1}{2}2A+\frac{1}{2}\frac{A}{2}=\frac{5}{4}A$
   
   
8. Este valor és major que A, per lo tant guanye canviant els sobres.
9. Despuix del canvi, puc cridar B al contingut del meu sobre i raonar exactament igual que abans.
10. Concloc que lo més racional és canviar de sobres una i una atra volta.
11. Per a ser racional, deuré llavors canviar de sobres indefinidament.
12. Ya que sembla més racional llimitar-se a obrir un sobre, tinc una contradicció.

Explicació de la paradoxa

A pesar de que en primera instància semblaria que l'atre sobre és millor sempre, es comet un error en la paradoxa dels dos sobres en comparar A en un valor esperat ya que A és el valor efectiu del sobre i no el valor esperat d'est, de fet el valor esperat dels dos sobres és:

$\frac{5}{4}A$