Notació de Van der Waerden

En física teòrica, la notació de Van der Waerden es referix a l'us d'espinors de dos components (segons l'equació de Weyl) en les quatre dimensions de l'espai-temps. És un procediment estàndar en la teoria de twistores i de la supersimetría. Du el nom del matemàtic neerlandés Bartel Leendert van der Waerden (1903-1996).

Índexs en punt

Índexs sense punt (índexs quirales)

Els espinores en índexs sense punt més baixos tenen quiralidad a esquerres i es denominen índexs quirales.

${\Sigma }_{\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{t}}=\left(\begin{array}{c}{\psi }_{\alpha }\\ 0\end{array}\right)$

Índexs en punt (índexs antiquirales)

Els espinores en índexs de punts elevats, més una barra superior en el símbol (no en l'índex), són a dretes i es denominen índexs antiquirales.

${\Sigma }_{\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}}=\left(\begin{array}{c}0\\ {\overline{\chi }}^{\dot{\alpha }}\end{array}\right)$

Sense els índexs, és dir. usant una "notació lliure d'índex", es conserva una barra superior en el espinor a dretes, ya que sorgix ambigüitat entre la quiralidad quan no s'indica cap índex.

Índexs en guion superior

Els índexs en un guion superior es denominen índexs de Dirac i són el conjunt d'índexs en punt i sense punt, o quirales i antiquirales. Per eixemple, si

$\alpha =1,2,\dot{\alpha }=\dot{1},\dot{2}$

llavors un espinor en la base quiral es representa com

${\Sigma }_{\hat{\alpha }}=\left(\begin{array}{c}{\psi }_{\alpha }\\ {\overline{\chi }}^{\dot{\alpha }}\end{array}\right)$

a on

$\hat{\alpha }=(\alpha ,\dot{\alpha })=1,2,\dot{1},\dot{2}$

En esta notació, l'adjunt de Dirac (també cridat conjugat de Dirac) és

${\Sigma }^{\hat{\alpha }}=\left(\begin{array}{cc}{\chi }^{\alpha }& {\overline{\psi }}_{\dot{\alpha }}\end{array}\right)$