Números i fòrmules pandigitales

Els números i les fòrmules pandigitales són aquelles expressions matemàtiques en la construcció de les quals apareixen a lo manco una volta tots els dígits que constituïxen la base de numeració en la que estan escrits. La base 10 és la més usada per a construir expressions pandigitales, puix es tracta de la base més chicoteta que usa tots els guarismes existents (0, 1, 2, ,3 ,4 ,5, 6, 7, 8, 9) per a denotar números.

Existixen certes discrepàncies sobre la definició anterior que és important numerar:

1. En algunes ocasions es permet una única aparició de cada dígit;
2. en atres casos, és permissible repetir cada sifra quantes voltes es vullga;
3. algunes definicions consideren al 0 com un guarisme vàlit i unes atres no (en este cas, l'única condició és que el número no escomence per 0).

Els següents són eixemples de números pandigitales:

• 245 789 613 usant la primera definició; a este tipo de números pandigitales se'ls crida "no redundantes" o "restringits".
• 122 333 444 455 555 666 666 777 777 788 888 888 999 999 999 usant la segona definició; a este tipo de números pandigitales se'ls denomina "redundantes" o "no restringits".
• 10 102 030 309 030 804 705 606, usant la tercera definició.

Recorrent a la primera definició, resulta que la cantitat de números pandigitales és finita (exactament, hi hauria 362 880 números pandigitales si es consideraren només els dígits de l'1 al 9; en canvi, si es considerara també el 0, llavors hi hauria 3 628 799 de números pandigitales).

Sent aixina, resulta molt més interessant estudiar les conseqüències d'usar ya siga la segona o la tercera definició, puix en qualsevol de les dos la cantitat de números pandigitales creix fins a l'infinit.

En el cas de les fòrmules pandigitales, es fan les mateixes puntualisació: poden usar-se només una volta cada dígit, una cantitat arbitrària de voltes o considerar el 0 com un atre dígit més encara que, en este cas, la seua ocupació resulta indiferent o, inclús, contraproduent, puix en ser el neutre aditiu no té efecte sumar-ho o restar-ho a una expressió; en cas que es multiplique, anula a qualsevol de les expressions que formen part del producte (lo mateix si és numerador d'una fracció, i evidentment no pot usar-se com a denominador); sobre la potenciació, no té una atra utilitat més que tornar 1 qualsevol expressió.

Propietats dels números pandigitales en base 10

Existixen vàries teoremes associades als números pandigitales. Els més populars i bàsics són els següents:

Teorema 1. Tot número pandigital restringit és divisible entre 9.

Demostració:

Açò es demostra fàcilment: siga $\rho$ un número pandigital restringit. Llavors, la suma dels seus dígits és:

$\sum _{i=0}^{9}i=45$

Note's que 4+5 = 9. Per lo tant, $\rho$ complix la prova de divisibilidad entre 9.

Corolari. En general, si es considera que ${\rho }_n$ és un número pandigital a on totes les seues sifres es repetixen $n$ cantitat de voltes cada una (a este númer pandigital se li cridarà ""restringit a $n$"), llavors la suma dels seus dígits és:

$n\cdot \sum _{i=0}^{9}i=45n$

I ya que $9\mid 45n$, llavors novament ${\rho }_n$ complix el criteri de divisibilidad entre 9.

Teorema 2. El número pandigital més chicotet en una base b qualsevol està donat per:

$b^{b-1}+\sum _{j=2}^{b-1}j{b}^{b-1-j}$

Teorema 3. La cantitat de números pandigitales que pot formar-se en $N$ dígits del 0 al 9 repartits de manera arbitrària és:

$N!-a_0$

a on $a_0$ representa la cantitat de voltes que es repetix el 0.

Demostració:

La demostració és elemental, puix aplica principis bàsics d'combinatoria.

Daus $N$ dígits del 0 al 9 per a formar números en eixa cantitat de sifres, llavors hi ha $N$ posicions a on colocar cada u dels guarisme. Aixina que, com la cantitat de sifres és la mateixa que la cantitat de posicions, poden colocar-se $N$ dígits en la primera posició, $N-1$ dígits en la segona posició, $N-2$ dígits en la tercera posició, etc. Multiplicant totes les maneres de colocar els dígits en totes les posicions, el resultat és:

$N(N-1)(N-2)\mathrm{...}(3)(2)=N!$

Per últim, no totes les combinacions són vàlides, ya que no s'admeten aquelles que comencen per 0.

Si $a_0$ denota la cantitat de voltes que es repetix el 0, llavors solament hi haurà $a_0$ números que escomencen per 0 (el que té només un 0 al principi, el que té dos 0 al principi, el que té tres 0 al principi, etc.). Aixina, la fòrmula queda finalment com:

$N!-a_0$

Conjectura sobre números pandigitales

La conjectura de les potències de 2

Conjectura. Totes les potències de 2 majors a 168 són números pandigitales.

$2^{168}$ és un número de 51 dígits que conté tots els dígits llevat (curiosament) 2; no obstant, es creu que a partir del 169 totes les potències de 2 són pandigitales.