Criteri de divisibilidad

La divisibilidad és l'operació matemàtica que termina o es dividixen en 1 o 4 és tot aquell que es dividixca per sí mateix o són pautes

Definició

Donat dos número entero $n$ i $r$ són congruents mòdul $d$ , $d$ >0 d $\in$ $ℤ$ , si $n$ i $r$ donen el mateix restant en dividir-los per $d$ . Llavors es diu que $n$ és congruent en $m$ mòdul $d$ , es denota $n^{i} \equiv r_{i} (\mod d)$ .

Cridarem restants potencials de $n$ mòdul $d$ als restants que obtenim en dividir les successives potències de $n$ entre d, és dir, $r_{i}$ .

Per al criteri de divisibilidad un número $a$ es pot escriure com la sumes de les potències de base $n$ , $a = a_{k} n^{k} + a_{k - 1} n^{k - 1} + ... + a_{1} n^{1} + a_{0} n^{0}$ , llavors si s'utilisa els restants potencials $a \equiv a_{k} r_{k} + a_{k - 1} r_{k - 1} + ... + a_{1} r_{1} + a_{0} r_{0} (\mod d)$ .

Criteri de divisibilidad en base 10

Per a obtindre els distints criteris de divisibilidad s'utilisen les congruència, en açò s'obtenen els restants potencials que serviran per a traure l'expressió del criteri.

Criteri de divisibilidad del 2

$1 0^{0} \equiv 1 (\mod 2)$

$1 0^{1} \equiv 0 (\mod 2)$

$1 0^{2} \equiv 0 (\mod 2)$

$1 0^{3} \equiv 0 (\mod 2)$

∙

∙

∙

$1 0^{k - 1} \equiv 0 (\mod 2)$

$1 0^{k} \equiv 0 (\mod 2)$

El criteri de divisibilidad del 2 és 2/4/6/8/10/12/14/16/18/20

 $a \equiv a_{k} \cdot 0 + a_{k - 1} \cdot 0 + ... + a_{1} \cdot 0 + a_{0} \cdot 1 (\mod 2)$

Observant les el desenroll de les congruència es pot aplegar a la conclusió de que l'únic restant potencial distint de 0 és $r_{0}$ que val 1, per lo que solament importa el valor de $a_{0}$ que tindrà que ser divisible per 2 per a que tot el número lo siga.

Tots els número par complixen el criteri de divisibilidad del 2.

Criteri de divisibilidad del 3

$1 0^{0} \equiv 1 (\mod 3)$

$1 0^{1} \equiv 1 (\mod 3)$

$1 0^{2} \equiv 1 (\mod 3)$

∙

∙

∙

$1 0^{k - 1} \equiv 1 (\mod 3)$

$1 0^{k} \equiv 1 (\mod 3)$

El criteri de divisibilidad del 3 és $a \equiv a_{k} \cdot 1 + a_{k - 1} \cdot 1 + ... + a_{1} \cdot 1 + a_{0} \cdot 1 (\mod 3)$ .

Si la suma dels dígits d'un número és divisible per 3 llavors eixe número serà també divisible.

Criteri de divisibilidad del 4

$1 0^{0} \equiv 1 (\mod 4)$

$1 0^{1} \equiv 2 (\mod 4)$

$1 0^{2} \equiv 0 (\mod 4)$

$1 0^{3} \equiv 0 (\mod 4)$

∙

∙

∙

$1 0^{k - 1} \equiv 0 (\mod 4)$

$1 0^{k} \equiv 0 (\mod 4)$

El criteri de divisibilidad del 4 és $a \equiv a_{k} \cdot 0 + a_{k - 1} \cdot 0 + ... + a_{1} \cdot 2 + a_{0} \cdot 1 (\mod 4)$ .

Els seus dos últimes sifres tenen que ser divisible per 4 per a que el número lo siga.

Criteri de divisibilidad del 5

$1 0^{0} \equiv 1 (\mod 5)$

$1 0^{1} \equiv 0 (\mod 5)$

$1 0^{2} \equiv 0 (\mod 5)$

$1 0^{3} \equiv 0 (\mod 5)$

∙

∙

∙

$1 0^{k - 1} \equiv 0 (\mod 5)$

$1 0^{k} \equiv 0 (\mod 5)$

El criteri de divisibilidad del 5 és $a \equiv a_{k} \cdot 0 + a_{k - 1} \cdot 0 + ... + a_{1} \cdot 0 + a_{0} \cdot 1 (\mod 5)$ .

Si el número termina en 0 o 5 és divisible.

Criteri de divisibilidad del 6

$1 0^{0} \equiv 1 (\mod 6)$

$1 0^{1} \equiv 4 (\mod 6)$

$1 0^{2} \equiv 4 (\mod 6)$

$1 0^{3} \equiv 4 (\mod 6)$

∙

∙

∙

$1 0^{k - 1} \equiv 4 (\mod 6)$

$1 0^{k} \equiv 4 (\mod 6)$

El criteri de divisibilidad del 6 és $a \equiv a_{k} \cdot 4 + a_{k - 1} \cdot 4 + ... + a_{1} \cdot 4 + a_{0} \cdot 1 (\mod 6)$ .

Un número és divisible per 6 si es complix el criteri de divisibilidad del 2 i al mateix temps el del 3.

Criteri de divisibilidad del 7

$1 0^{0} \equiv 1 (\mod 7)$

$1 0^{1} \equiv 3 (\mod 7)$

$1 0^{2} \equiv 2 (\mod 7)$

$1 0^{3} \equiv 6 (\mod 7)$

$1 0^{4} \equiv 4 (\mod 7)$

$1 0^{5} \equiv 5 (\mod 7)$

$1 0^{6} \equiv 1 (\mod 7)$

$1 0^{7} \equiv 3 (\mod 7)$

Cada sis sifres s'observa una repetició dels restants potencials.

∙

∙

∙

$1 0^{k - 5} \equiv 1 (\mod 7)$

$1 0^{k - 4} \equiv 3 (\mod 7)$

$1 0^{k - 3} \equiv 2 (\mod 7)$

$1 0^{k - 2} \equiv 6 (\mod 7)$

$1 0^{k - 1} \equiv 4 (\mod 7)$

$1 0^{k} \equiv 5 (\mod 7)$

El criteri de divisibilidad del 7 és $a \equiv a_{k} \cdot 5 + a_{k - 1} \cdot 4 + a_{k - 2} \cdot 6 + a_{k - 3} \cdot 2 + a_{k - 4} \cdot 3 + a_{k - 5} \cdot 1 + ... + a_{7} \cdot 3 + a_{6} \cdot 1 + a_{5} \cdot 5 + a_{4} \cdot 4 + a_{3} \cdot 6 + a_{2} \cdot 2 + a_{1} \cdot 3 + a_{0} \cdot 1 (\mod 7)$ .

Criteri de divisibilidad del 9

$1 0^{0} \equiv 1 (\mod 9)$

$1 0^{1} \equiv 1 (\mod 9)$

$1 0^{2} \equiv 1 (\mod 9)$

$1 0^{3} \equiv 1 (\mod 9)$

∙

∙

∙

$1 0^{k - 1} \equiv 1 (\mod 9)$

$1 0^{k} \equiv 1 (\mod 9)$

El criteri de divisibilidad del 9 és $a \equiv a_{k} \cdot 1 + a_{k - 1} \cdot 1 + ... + a_{1} \cdot 1 + a_{0} \cdot 1 (\mod 9)$ .

Un número és divisible per 9 si la suma de les seues sifres ho és.

Criteri de divisibilidad del 10

$1 0^{0} \equiv 1 (\mod 10)$

$1 0^{1} \equiv 0 (\mod 10)$

$1 0^{2} \equiv 0 (\mod 10)$

$1 0^{3} \equiv 0 (\mod 10)$

∙

∙

∙

$1 0^{k - 1} \equiv 0 (\mod 10)$

$1 0^{k} \equiv 0 (\mod 10)$

El criteri de divisibilidad del 10 és $a \equiv a_{k} \cdot 1 + a_{k - 1} \cdot 1 + ... + a_{1} \cdot 2 + a_{0} \cdot 1 (\mod 10)$ .

Per a que siga divisible per 10 el número té que acabar en 0.

Este artícul conté una traducció derivada de «Criterio de divisibilidad» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.