Marge d'error

Archiu:Margin-of-error-95.svg

#Densitat de provabilitat d'enquestes de diferent tamany, cada color es presenta al seu interval de confiança del 95% (avall), marge d'error (izq), i tamany de la mostra (dreta). Cada interval reflectix el sector dins del com es pot tindre un 95% de confiança que es pot trobar el percentage verdader, given a reported percentage of 50%. El marge d'error és la mitat de l'intervals de confiança (també denominat, el radi de l'interval). Quant major és la mostra, més menut és el marge d'error. Ademés, quant més apartat del 50% es trobe el percentage, menor resulta ser el marge d'error.

El terme marge d'error (MDE) s'usa a sovint en contexts que no són enquestes per a indicar un error d'observació en informar les cantitats medides. També s'utilisa en el parla coloquial per a referir-se a la cantitat d'espai o flexibilitat que un podria tindre per a conseguir una meta. Per eixemple, els comentaristes ho usen a sovint en els deports quan descriuen quànta precisió es requerix per a conseguir una meta, punts o resultat. Un boliche que s'usa en els Estats Units medix 4,75 polzades d'ample i la bola medix 8,5 polzades d'ample, per lo que es podria dir que un jugador de birles té un marge d'error de 21,75 polzades en intentar colpejar un pin específic per a guanyar un de recanvi (p. eix., 1 pin permaneixent en el carril).

Concepte

Siga una enquesta simple del tipo si/no, $P$ és una mostra de $n$ enquestats presos d'una població de $Next,(n<<N)$ que indica un percentage $p$ de respostes si. Es desija saber cuan propenc es troba $p$ del verdader resultat de l'enquesta de tota la població $N$, sense que tindre que realisar una. Si, hipotèticament, realisàrem una enquesta $P$ sobre mostres subsecuentes de $n$ enquestats (presos novament de $N$), és que és d'esperar que els resultats subsecuentes $p_1,p_2,ldots$ es troben distribuïts en forma normal al voltant de $overlinep$. El marge d'error descriu la distància dins de la qual el percentage especificat d'estos resultats és d'esperar varie de $overlinep$.

Segons la regla 68-95-99.7, és d'esperar que el 95% dels resultats $p_1,p_2,ldots$ cauran dins de unes dos desviacions estàndar ($plusmn2sigm{a}_P$) en qualsevol dels costats del valor mig verdader $overlinep$.  Este interval es denomina l'interval de confiança, i el radi (la mitat de l'interval) és denominat el marge d'error, corresponent a l'un nivell de confiança del 95%.

Generalment, en un nivell de confiança $gamma$, una mostra de tamany $n$ d'una població que se sospita posseïx una desviació estàndar $sigma$ té un marge d'error

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle MDE_gamma = z_gamma imes sqrt{�rac{sigma^2}{n}}}

a on $z_{g}amma$ representa el cuantil (comunament denominat una unitat tipificada), i Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle sqrt{�rac{sigma^2}{n}}} és l'error estàndar.

Desviació estàndar i error estàndar

És d'esperar que els valors  $p_1,p_2,ldots$ distribuïts normalment tinguen una desviació estàndar que depén de $n$. Quant menor és $n$, més ampli és el marge. Això és denominat l'error estàndar $sigm{a}_{o}verlinep$.

Per a un únic resultat de la nostra enquesta, es supon que $p=overlinep$, i que tots els resultats subsecuentes $p_1,p_2,ldots$ junts tindran una varianza $sigm{a}_P^2=P(1-P)$.

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle ext{Error estàndar} = sigma_overline{p} �pprox sqrt{�rac{sigma_{P}^2}{n}} �pprox sqrt{�rac{p(1-p)}{n}}}

És de notar que $p(1-p)$ correspon a la varianza d'una distribució de Bernoulli.

Marge d'error màxim per a distints nivells de confiança

Archiu:Empirical Rule.PNG

Representació visual de la regla empírica basada en la distribució normal

Per a un nivell de confiança $gamma$, existix un interval de confiança corresponent al voltant de el $muplusmn{z}_{g}ammasigma$ promig, o siga, l'interval $[mu-z_{g}ammasigma,mu+z_{g}ammasigma]$ dins del com els valors de $P$ deuen trobar-se en una provabilitat $gamma$. Els valors precisos de $z_{g}amma$ s'obtenen a partir de la funció cuantil de la distribució normal (la qual és aproximada per la regla 68-95-99.7).

Ademés, es deu notar que $z_{g}amma$ es troba indefinit per a $|gamma|ge1$, o siga, $z_{1.00}$ és indefinit, ya que és $z_{1.10}$.

$gamma$	$z_{gamma}$		$gamma$	$z_{gamma}$
0.68	0.994457883210		0.999	3.290526731492
0.90	1.644853626951		0.9999	3.890591886413
0.95	1.959963984540		0.99999	4.417173413469
0.98	2.326347874041		0.999999	4.891638475699
0.99	2.575829303549		0.9999999	5.326723886384
0.995	2.807033768344		0.99999999	5.730728868236
0.997	2.967737925342		0.999999999	6.109410204869

Ya que $maxsigm{a}_P^2=maxP(1-P)=0.25$ per a $p=0.5$, es pot fixar de manera arbitrària $p=overlinep=0.5$, calcular $sigm{a}_P$, $sigm{a}_{o}verlinep$, i $z_{g}ammasigm{a}_{o}verlinep$ per a obtindre el màxim marge d'error per a $P$ en un nivell de confiança de $gamma$ i un tamany de mostra $n$, encara abans de tindre resultats concrets.  en $p=0.5,n=1013$

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle MDE_{95}(0.5) = z_{0.95}sigma_overline{p} �pprox z_{0.95}sqrt{�rac{sigma_{P}^2}{n}} = 1.96sqrt{�rac{.25}{n}} = 0.98/sqrt{n}=plusmn3.1%}

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle MDE_{99}(0.5) = z_{0.99}sigma_overline{p} �pprox z_{0.99}sqrt{�rac{sigma_{P}^2}{n}} = 2.58sqrt{�rac{.25}{n}} = 1.29/sqrt{n}=plusmn4.1%}

Ademásm és útil saber que para tot $MD{E}_{95}$

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle MDE_{99} = �rac{z_{0.99}}{z_{0.95}}MDE_{95} �pprox 1.3 imes MDE_{95}}

Màrgens específics d'error

Si una enquesta proveïx diversos resultats percentuals (per eixemple, per eixemple una enquesta que medix una sola preferència en opcions múltiples), el resultat més pròxim al 50% tindrà el major marge d'error. Per lo general, és este número el que s'informa com el marge d'error de tota l'enquesta. Si per eixemple l'enquesta $P$ tira com a resultats $p_a,p_b,p_c$ $71\mathrm{\%},27\mathrm{\%},2\mathrm{\%},n=1013$

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle MDE_{95}(P_{a}) = z_{0.95}sigma_overline{p_{a}} �pprox 1.96sqrt{�rac{p_{a}(1-p_{a})}{n}} = 0.89/sqrt{n}=plusmn2.8%} (tal com s'observa en la figura prèvia)

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle MDE_{95}(P_{b}) = z_{0.95}sigma_overline{p_{b}} �pprox 1.96sqrt{�rac{p_{b}(1-p_{b})}{n}} = 0.87/sqrt{n}=plusmn2.7%}

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle MDE_{95}(P_{c}) = z_{0.95}sigma_overline{p_{c}} �pprox 1.96sqrt{�rac{p_{c}(1-p_{c})}{n}} = 0.27/sqrt{n}=plusmn0.8%}

As a given percentage approaches the extremes of 0% or 100%, its margin of error approaches ±0%.

Usos del marge d'error en les enquestes

Diferents nivells de confiança

Per a una mostra aleatòria simple d'una població gran, el marge d'error màxim $I_m$ és una atra expressió del tamany de la mostra $n$. Els numeradors d'estes equacions es redonegen a dos decimals.

Per a la confiança $X$, Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle I_m =�rac{operatorname{erf}^{-1}(X)}{sqrt{2n}}} .

Per a un 99% de confiança, Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle I_m =�rac{1,29}{sqrt{n}},} .

Per a un 95% de confiança, Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle I_m =�rac{0,98}{sqrt{n}},} .

Per a un 90% de confiança, Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle I_m =�rac{0,82}{sqrt{n}},} .

Si un artícul sobre una enquesta no informa del marge d'error, pero no indica que s'ha utilisat una mostra aleatòria simple d'un tamany determinat, el marge d'error pot calcular-se per a un grau de confiança desijat utilisant les fòrmules anteriors. Ademés, donat el marge d'error del 95%, és possible trobar el marge d'error del 99% aumentant el marge d'error declarat en un 30% aproximadament. Per eixemple, una mostra aleatòria de 400 proporcionarà un marge d'error en un nivell de confiança del 95 % de Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �rac{0,98}{20} = 0,049} , just per baix del 5 %. Una mostra aleatòria de tamany 1.600 proporcionarà un marge d'error de Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �rac{0,98}{40} = 0,0245} , alguna cosa menys del 2,5%. Una mostra aleatòria de 10.000 proporcionarà un marge d'error a un nivell de confiança del 95% de Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �rac{0,98}{100} = 0,0098} , just per baix del 1%.

Màrgens d'error màxims i específics

Mentres que el marge d'error que sol aparéixer en la prensa és una image de l'enquesta que reflectix la màxima variació mostral de qualsevol percentage basat en tots els enquestats, el terme marge d'error també es referix al radi de l'interval de confiança d'una estadística concreta. El marge d'error d'un determinat percentage individual serà, per lo general, inferior al marge d'error màxim comunicat per l'enquesta. Este màxim només s'aplica quan el percentage observat és del 50% i el marge d'error es reduïx a mida que el percentage s'acosta als extrems del 0% i del 100%. En atres paraules, el marge d'error màxim és el radi d'un interval de confiança del 95% per a un percentage declarat del 50%. Si $p$ s'allunta del 50%, l'interval de confiança per a $p$ serà millor. Per lo tant, el marge d'error màxim representa la mayoración de l'incertitut, es té un 95% de certea de que el percentage real està dins del marge d'error màxim d'un percentage reportat per a qualsevol percentage reportat.

Efecte del tamany de la població

La fòrmula anterior per al marge d'error supon que existix una població infinitament gran. Per lo tant, no depén del tamany de la població d'interés. Segons la teoria del mostreig, esta suposició és raonable quan la fracció de la mostra és menuda. El marge d'error d'un determinat método de mostreig és essencialment el mateix independentment del tamany de la població d'interés, sempre que la fracció de mostreig siga inferior al 5%. En els casos en els que la fracció de la mostra és superior al 5%, els analistes poden ajustar el marge d'error en el factor de correcció de la població finita (FCPF) per a tindre en conte la pressió adicional obtinguda pel mostreig propenc a un percentage major de la població.

El FCPF pot calcular-se per mig de Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle operatorname{FCPF} = sqrt{�rac{N - n}{N - 1}}.}

Per a ajustar el marge d'error per a una fracció de mostra gran, la FCPF reduïx el marge d'error. La FCPF s'aproxima a 0 a mida que el tamany de la mostra $n$ s'aproxima al tamany de la població $N$, lo que té l'efecte d'eliminar completament el marge d'error. Açò té sentit perque quan $N=n$, la mostra es convertix en un cens i l'error de mostreig es torna irrellevant. Els analistes deuen tindre en conte que les mostres seguixen sent verdaderament aleatòries a mida que aumenta la fracció de la mostra per a que no s'introduïxca el biaix.

Comparació de percentages

En un sistema d'escrutini majoritari uninominal, en el que el guanyador és el candidat en més vots, és important saber quí va per davant. El terme empate estadístic s'utilisa a voltes per a descriure percentages que divergixen per menys d'un marge d'error, pero este terme pot ser malinterpretado. Per un costat, el marge d'error, tal i com se sol calcular, s'aplica al percentage individual, no a la diferència entre percentages. Per tant, la diferència entre dos estimacions percentuals pugues no ser estadísticament significativa, inclús quan diferixen en més d'un marge d'error. Els resultats de les enquestes també solen proporcionar informació rellevant inclús quan no hi ha diferències estadísticament significatives.

Quan es comparen percentages, pot ser útil considerar la provabilitat de que un siga major que un atre. En situacions senzilles, la provabilitat es pot derivar calculant l'error estàndar mencionat anteriorment, la fòrmula de la varianza de la diferència de dos variables aleatòries i la suposició de que si ningú elegix al candidat A, elegirà al candidat B i viceversa. Estan perfecta i negativament correlacionados. Açò pugues no ser una suposició acceptable quan hi ha més de dos respostes possibles a l'enquesta. En el cas d'enquestes més complexes, es deuen utilisar diferents fòrmules per a calcular l'error estàndar de la diferència.

L'error estàndar de la diferència de dos percentages $p$ del candidat A i $q$ del candidat B, suponent que estan perfecta i negativament correlacionados, és

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle sqrt{�rac{p + q - (p - q)^2}{n}} = sqrt{�rac{p + q - p^2 + 2pq - q^2}{n}}.}

Donada la diferència en el percentage observat $p-q$ (2% o 0,02) i l'error estàndar de la diferència mencionat anteriorment (0,03), es pot utilisar qualsevol càlcul estadístic per a calcular la provabilitat de que una mostra d'una distribució normal en mija 0,02 i desviació estàndar 0,03 siga major que 0,

Vore també

• Error de medició
• Error experimental
• Mides de dispersió

Bibliografia adicional

• Sudman, Seymour and Bradburn, Norman (1982). Asking Questions: A Practical Guide to Questionnaire Design. Sant Francisco: Jossey Bass. ISBN 0-87589-546-8 (anglés)
• Introductory Statistics, 5th edició (en anglés), Wiley. ISBN 0-471-61518-8.

Enllaços externs

• Plantilla:Springer
• Plantilla:Mathworld