Método de van der Corput

En matemàtiques, el método de van der Corput permet generar estimacions per al valor de sumes exponencials. Este método aplica dos processos, els processos A i B de van der Corput, que relacionen les sumes en sumes més simples, més fàcils d'estimar.

Els processos s'apliquen a sumes exponencials de la forma:

$\sum _{n=a}^{b}e(f(n))$

a on f és una funció infinitament diferenciable suficientment exponencial i i(x) denota exp(2πix).

Procés A

Per a aplicar el procés A, s'escriu la primera diferencia f_h(x) per a f(x+h) - f(x).

Suponga's que existix H ≤ b - a tal que:

$\sum _{h=1}^H\left|\sum _{n=a}^{b-h}e(f_h(n))\right|\le b-a.$

Llavors:

$\left|\sum _{n=a}^{b}e(f(n))\right|\ll \frac{b-a}{\sqrt{H}}.$

Processe B

El procés B transforma la suma que involucra a f en una que involucra una funció g definida en térmens de la derivada de f. Suponga's que f és monòtona creixent en f'(a) = α, f'(b) = β. Llavors, f' és invertible en [α,β] en inversa o, per eixemple. Suponga's ademés que f'' ≥ λ > 0. Llavors, es pot escriure que:

$g(y)=f(u(y))-yu(y).$

i es té que:

$\left|\sum _{n=a}^{b}e(f(n))\right|\ll \frac{1}{\sqrt{\lambda }}\underset{\alpha \le \gamma \le \beta }{\max }\left|\sum _{\nu =\alpha }^{\gamma }e(g(\nu ))\right|.$

Aplicar novament el procés B a la suma que involucra a g torna la suma sobre f i, per lo tant, no proporciona informació adicional.

Bibliografia

• Ivić, Aleksandar (1985). The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications, New York etc.: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-80634-X.
• Montgomery, Hugh L. (1994). Tingues lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis (vol. 84), Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0737-4.
• (2006) Handbook of number theory I, Dordrecht: Springer Science+Business Mija. ISBN 1-4020-4215-9.