Método NM

método NM

El método NM' o método Naszodi-Mendonca' es pot aplicar en estadística, econometria, economia, sociologia i demografia per a construir contrafactuales taules de contingència. El método troba la matriu $X$ ($X\in {ℝ}^{n\times m}$) que és "més propenca" a la matriu $Z$ ($Z\in {\mathbb{N}}^{n\times m}$ denominada la taula llavor) en el sentit de ser ranked la mateixa pero en les totals de files i columnes d'una matriu objectiu. $Y$ $(Y\in {\mathbb{N}}^{n\times m})$. Mentres que els totals de files i columnes de $Y$ són coneguts, la pròpia matriu $Y$ pot ser desconeguda.

Ya que la solució per a la matriu $X$ és única, el método NM és una funció:  X$X=\text{NM}(Z,Y{e}_m^T,e_{n}Y):{\mathbb{N}}^{n\times m}\times {\mathbb{N}}^n\times {\mathbb{N}}^m\mapsto {ℝ}^{n\times m}$, a on $e_n$ és un vector d'una fila de tamany $1\times n$, mentres que $e_m^T$ és un vector d'una columna de tamany $m\times 1$.

El método NM va ser desenrollat per Naszodi i Mendonca (2021) (i aplicada per primera volta per Naszodi i Mendonca (2019)) per a resoldre la matriu $X$ en problemes, a on la matriu $𝒁$ no és una mostra de la població caracterisada pels totals de files i columnes de la matriu $Y$, sino que representa una atra població'.

El procediment d'ajust proporcional iterativo (IPF) també és una funció: $\text{IPF}(Z,Y{e}_m^T,e_{n}Y):{ℝ}^{n\times m}\times {ℝ}^n\times {ℝ}^m\mapsto {ℝ}^{n\times m}$ . És l'operació de trobar la matriu ajustada $𝑭$ ( $F\in {ℝ}^{n\times m}$ ) que complix un conjunt de condicions similars a les que complix la matriu $X$ construït en el método NM. Per eixemple, matriu $F$ és el més propenc a la matriu $𝒁$ pero en els totals de fila i columna de la matriu de destí $𝒀$.

$\text{LL}(Z)=\frac{Z_{1,1}-Q^{-}(Z_{1,1})}{\text{min}(Z_{1,.},Z_{.,1})-Q^{-}(Z_{1,1})}$, on $Z_{1,.}=Z_{1,1}+Z_{1,2}$ ; $Z_{.,1}=Z_{1,1}+Z_{2,1}$ ; $Z_{.,.}=Z_{.,1}+Z_{1,.}$ ; $Q(Z_{1,1})=Z_{1,.}{Z}_{.,1}/Z_{.,.}$ ; $Q^{-}(Z_{1,1})=int[Q(Z_{1,1})]$.

El método NM va ser desenrollat per Naszodi i Mendonca (2021) (i aplicat per primera volta per Naszodi i Mendonca (2019) ) per a resoldre la matriu $X$ en problemes, a on matriu $𝒁$ no és una mostra de la població caracterisada pels totals de les files i les columnes de la matriu $Y$, pero representa una atra població.

La seua aplicació tenia com a objectiu de quantificar els canvis intergeneracionales en la força de la homofilia educativa i medir aixina el canvi històric de la desigualtat social entre els diferents grups educatius en els EE. UU. entre 1980 i 2010. Es va comprovar que la tendència de la desigualtat tenia forma d'O, lo que respala l'opinió de que en polítiques socials i econòmiques adequades es pot reduir la desigualtat.

Definició de la classificació de matrius

La rodalia entre dos matrius del mateix tamany pot definir-se de vàries maneres. La distància euclidiana, i la divergència de Kullback-Leibler són dos eixemples ben coneguts.

El método NM és consistent en una definició que es basa en l'ordinal índex de Liu-Lu que és la versió llaugerament modificada del índex Coleman definit per la Ec. (15) en Coleman (1958). Segons esta definició, la matriu $X$ és la més "propenca" a la matriu $Z$, si els seus valors Liu-Lu són els mateixos. En atres paraules, si estan classificades igual per l'índex Liu-Lu ordinal.

Si la matriu $Z$ és una matriu 2-per-2', la seua Plantilla:Anchor índex de Liu-Lu escalar-valorat es definix com $\text{LL}(Z)=\frac{Z_{1,1}-Q^{-}(Z_{1,1})}{\text{min}(Z_{1,.},Z_{.,1})-Q^{-}(Z_{1,1})}$ , a on $Z_{1,.}=Z_{1,1}+Z_{1,2}$; $Z_{.,1}=Z_{1,1}+Z_{2,1}$; $Z_{.,.}=Z_{.,1}+Z_{1,.}$; $Q(Z_{1,1})=Z_{1,.}{Z}_{.,1}/Z_{.,.}$; $Q^{-}(Z_{1,1})=int[Q(Z_{1,1})]$.

Seguint a Coleman (1958), este índex s'interpreta com el "real menys esperat sobre màxim menys mínim", a on $Z_{1,1}$ és el valor real de l'entrada $1,1$ de la matriu llavor $Z$;  $Q^{-}$ és el seu valor esperat (sancer) baixe els supòsits contrafactuales de que el total de files i el total de columnes corresponents de $Z$ estan predeterminats, mentres que el seu interior és aleatori. Aixina mateix, $Q^{-}$ és el seu valor mínim si l'associació entre la variable fila i la variable columna de $Z$ és no negativa. Per últim, $\text{min}(Z_{1,.},Z_{.,1})$ és el valor màxim de $Z_{1,1}$ ($Z\in {\mathbb{N}}^{n\times m}$) per a un total de files $Z_{1,.}$ i un total de columnes $Z_{.,1}$ daus.

Per a matrius $Z$ de tamany n per m' ($n\ge 2$, $m\ge 2$), l'índex de Liu-Lu va ser generalisat per Naszodi i Mendonca (2021) a un índex matricial. Una de les Plantilla:Anchor precondiciones per a la generalisació és que la variable fila i la variable columna de la matriu $Z$ tenen que estar ordenades. Igualar l'índex de Liu-Lu generalisat i valorat matricialmente de $Z$ en el de la matriu $X$ és equivalent a dicotomizar la seua variable fila ordenada i la seua variable columna ordenada Plantilla:Anchor de $(n-1)veces(m-1)$ maneres explotant la naturalea ordenada de les variables fila i columna. Després, igualant els índexs originals, scalar-valued Liu-Lu indices de les matrius 2-per-2 obtingudes en les dicotomizaciones. És dir, per a qualsevol parell de $i,j$ ($i\in \{1,\dots ,n-1\}$, i $j\in \{1,\dots ,m-1\}$) s'impon la restricció $\text{LL}(V_{i}X{W}_j^T)=\text{LL}(V_{i}Z{W}_j^T)$,  a on $V_i$ és la matriu $2vecesn$$$V_i=\left[\begin{array}{cccccc}1& \mathrm{...}& 1& 0& \mathrm{...}& 0\\ 0& \cdots & 0& 1& \cdots & 1\end{array}\right]$$en la seua Plantilla:Font color sent de tamany $2\times i$, i el seu Plantilla:Font color sent de tamany $2\times (n-i)$. De la mateixa manera, $W_j^T$ és la matriu $m\times 2$ donada per la transposició de$$W_j=\left[\begin{array}{cccccc}1& \mathrm{...}& 1& 0& \mathrm{...}& 0\\ 0& \cdots & 0& 1& \cdots & 1\end{array}\right]$$en la seua Plantilla:Font color sent de tamany $2vecesj$, i el seu Plantilla:Font color sent de tamany $2veces(m-j)$.  

Restriccions sobre els totals de fila i els totals de columna

Matriu $X$ deu satisfer no només $\text{LL}(V_{i}X{W}_j^T)=\text{LL}(V_{i}Z{W}_j^T)$ sino també el parell de restriccions sobre els seus totals de fila i totals de columna: $X{e}_m^T=Y{e}_m^T$ i $e_{n}X=e_{n}Y$.