Mètrica de Kähler-Einstein
En geometria diferencial, una mètrica de Kähler-Einstein en una varietat complexa és una mètrica de Riemann que és al mateix temps una mètrica de Kähler i una mètrica d'Einstein. Es diu que una varietat és Kähler-Einstein si admet una mètrica de Kähler-Einstein. El cas especial més important d'estos són els colectors de Calabi-Yau, que són Kähler i Ricci pla.
El problema més important per a esta àrea és l'existència de mètriques Kähler-Einstein per a colectors Kähler compactes.
En el cas en el que hi ha una mètrica de Kähler, la curvatura de Ricci és proporcional a la mètrica de Kähler. Per lo tant, la primera classe de Chern és negativa, zero o positiva.
Quan la primera classe de Chern és negativa, Aubin i Yau varen demostrar que sempre hi ha una mètrica de Kähler-Einstein.
Quan la primera classe de Chern és zero, Yau va demostrar la conjectura de Calabi de que sempre hi ha una mètrica de Kähler-Einstein. Shing-Tung Yau va ser guardonat en el seu medalla Fields per este treball. Això du al nom de varietats de Calabi-Yau.
El tercer cas, el positiu o el cas Fano, és el més difícil. En este cas, hi ha una obstrucció no trivial a l'existència. En 2012, Chen, Donaldson i Sun varen demostrar que en este cas l'existència és equivalent a un criteri algebro-geomètric cridat K-estabilitat. La seua prova va aparéixer en una série d'artículs en el Journal of the American Mathematical Society.[1] [2][3]
Quan la primera classe de Chern no és definitiva, o tenim una dimensió de Kodaira intermija, trobar la mètrica canònica seguix sent un problema obert, que es denomina conjectura de Algebrización per mig de la Teorema de Model Mínim Analític.[4] Conjectura d'unificació de geometrización en conjectura de algebrización i conjectura d'anàlisis referida com a teorema de Song-Tian[5]
Referències
[editar | editar còdic]- ↑ Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon; Sun, Song Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds. I: Approximation of metrics with cone singularities. J. Amer. Math. Soc. 28 (2015), no. 1, 183–197.
- ↑ Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon; Sun, Song Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds. II: Limits with cone angle less than 2π . J. Amer. Math. Soc. 28 (2015), no. 1, 199–234.
- ↑ Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon; Sun, Song Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds. III: Limits as cone angle approaches 2π and completion of the main proof. J. Amer. Math. Soc. 28 (2015), no. 1, 235–278.
- ↑ Jian Song, Gang Tian,The Kahler-Ricci flow through singularities, https://arxiv.org/abs/0909.4898
- ↑ (clave 21:30)https://www.youtube.com/watch?v=eNgUQlpc1m0
Referències
[editar | editar còdic]
- Este artícul conté una traducció derivada de «Métrica de Kähler-Einstein» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.