Llei de Darcy

Experiment de Darcy

La Llei de Darcy descriu, en base en experiments de laboratori, les característiques del moviment del aigua a través d'un mig poroso.

L'expressió matemàtica de la Llei de Darcy és la següent:

$Q=k\frac{h_3-h_4}{L}A=k\cdot i\cdot A$

sent:

$Q$ = despesa, descàrrega o cabal en m³/s.

$L$ = llongitut en metros de la mostra.

$k$ = una constant, actualment coneguda com coeficient de permeabilidad de Darcy, variable en funció del material de la mostra, en m/s.

$A$ = àrea de la secció travessera de la mostra, en m².

$h_3$ = altura, sobre el pla de referència que alcança l'aigua en un tubo colocat a l'entrada de la capa filtrante.

$h_4$ = altura, sobre el pla de referència que alcança l'aigua en un tubo colocat a l'eixida de la capa filtrante.

L'aigua, per relacions d'energia, circula de major a menor altura piezométrica. Tal i com es pot vore, la relació $\frac{h_3-h_4}{L}$ es tracta del gradient d'altures priezométricas $(𝐢)$ o gradient hidràulic i s'observa que:

$\frac{\partial H}{\partial L}\le 0$

per lo que adopta un valor negatiu. Això es pot expressar:

$q=\frac{Q}{A}=k\frac{\partial h}{\partial z}$

a on h és l'altura piezométrica i z la llongitut recorreguda. Generalisant a 3 dimensions s'obté que:

$𝐪=-𝐊\cdot \mathrm{\nabla }(h(x,y,z))$

K és la conductivitat hidràulica (permeabilidad) i es tracta d'un tensor simètric diagonalisable a 3 direccions principals:

$𝐊=\left[\begin{array}{ccc}{K}_{xx}& K_{xy}& K_{xz}\\ K_{yx}& K_{yy}& K_{yz}\\ K_{zx}& K_{zy}& K_{zz}\end{array}\right]\to 𝐊=\left[\begin{array}{ccc}{K}_{xx}& 0& 0\\ 0& K_{yy}& 0\\ 0& 0& K_{zz}\end{array}\right]$

i s'obté:

$𝐪=-𝐊\cdot \mathrm{\nabla }(h(x,y,z))=-K_x\frac{\partial h}{\partial x}𝐢-K_y\frac{\partial h}{\partial y}𝐣-K_z\frac{\partial h}{\partial z}𝐤=-\left[\begin{array}{c}{K}_x\frac{\partial h}{\partial x}\\ K_y\frac{\partial h}{\partial y}\\ K_z\frac{\partial h}{\partial z}\end{array}\right]$

L'aigua es desplaçarà en la direcció a on hi haja més permeabilidad i esta a la seua volta indicarà a que velocitat es mou l'aigua en condicions unitàries de gradient. En terrenys isótropo, les 3 permeabilidades principals seran idèntiques.

Validea de la Llei de Darcy

-La llei de Darcy és vàlida en un mig saturat, continu, homogéneu i isótropo i quan les forces inerciales són despreciables (Re<1).

La llei de Darcy és una de les peces fonamentals de la mecànica dels sols. A partir dels treballs inicials de Darcy, un treball monumental per a l'época, molts atres investigadors han analisat i lloc a prova esta llei. A través d'estos treballs posteriors s'ha pogut determinar que manté la seua validea per a la majoria dels tipos de fluix de decorreguts en els sols. Per a filtracions de líquits a velocitats molt elevades i la de gasos a velocitats molt baixes, la llei de Darcy deixa de ser vàlida.

En el cas d'aigua circulant en sols, existixen evidències marejants en el sentit de verificar la vigència de la Llei de Darcy per a sols que van des de les rovines fins a les arenes miges. Aixina mateix és perfectament aplicable en les argila, per a fluix en règim permanent.

Per a sols de major permeabilidad que l'arena mija, deurà determinar-se experimentalment la relació real entre el gradient i la velocitat per a cada sol i porosidad estudiats. la llei darcy és específicament per a fer els càlculs de cabals (Q) per mig d'extractes que es poden obtindre del jaciment