Interpolació racional

Una Funció racional $r$, de grau $N$, és un cocient de polinomis els graus dels quals sumen $N$.

$r(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p_0+p_1(x-x_0)+\cdots +p_n(x-x_0{)}^n}{q_0+q_1(x-x_0)+\cdots +q_n(x-x_0{)}^n}$

La primera forma d'obtindre esta funció racional s'assembla més a una interpolació que a una aproximació, pròpiament dita. Supongam que $x_1,x_2,\cdots ,x_N$ són punts, cap dels quals és igual al punt $x_0$, entorn al com s'obté l'interpolació. Volem que $f(x)$ i $r(x)$ coincidixquen en el conjunt $x_0,x_1,x_2,\cdots ,x_N$. Per a que $r(x)$ existixca en $x_0$, deu ser $q_0\ne 0$ i podem supondre, sense pèrdua de generalitat, que $q_0=1$. Per una atra part, en substituir $x$ per $x_0$, s'obté $p_0=f(x_0)$. Aixina que, el punt $x_0$ ya ha segut utilisat i no intervindrà en els càlculs següents. Si substituïm en $r(x)$, cada u dels punts $x_0,x_1,x_2,\cdots ,x_N$ i exigim que el resultat siga, en cada cas, el valor de $f(x)$ en dits punts, obtindrem el sistema d'equacions:

$\sum _{k=1}^n{p}_k(x_i-x_0{)}^k-\sum _{j=1}^{m}f(x_i)q_j(x_i-x_0{)}^j=f(x_i)-f(x_0),i=1,2,\cdots x_N$