Interpolació polinòmica de Newton

És un método d'interpolació polinòmica. Encara que solament existix un únic polinomi que interpola una série de punts, existixen diferents formes de calcular-ho. Este método és útil per a situacions que requerixquen un número baix de punts per a interpolar, ya que a mida que creix el número de punts, també ho fa el grau del polinomi.

Existixen certes ventages en l'us d'este polinomi respecte al polinomi interpolador de Lagrange. Per eixemple, si fora necessari afegir algun nou punt o nodo a la funció, tan sol caldria calcular este últim punt, donada la relació de recurrencia existent i demostrada anteriorment.

Definició de pendent

El primer pas per a trobar la fòrmula de l'interpolació és definir la pendent d'orde $n$ de manera recursiva:

• $f_0(x_i)$: terme i-ésimo de la seqüència
• $f_1(x_0,x_1)=\frac{f_0(x_1)-f_0(x_0)}{x_1-x_0}$
• $f_2(x_0,x_1,x_2)=\frac{f_1(x_1,x_2)-f_1(x_0,x_1)}{x_2-x_0}$

En general:

$f_i(x_0,x_1,\dots ,x_{i-1},x_i)=\frac{f_{i-1}(x_1,\dots ,x_{i-1},x_i)-f_{i-1}(x_0,x_1,\dots ,x_{i-1})}{x_i-x_0}$,

a on $x_i-x_j$ representa la distància entre dos elements (per eixemple, es pot tindre l'element en $x=3$ i $x=5$ pero desconéixer el valor de la seqüència en $x=4$).

Pot apreciar-se cóm en la definició general s'usa la pendent del pas anterior, $f_{i-1}(x_1,\dots ,x_{i-1},x_i)$, a la qual se li resta la pendent prèvia de mateix orde, és dir, el subíndex dels térmens es decrementa en $1$, com si es desplaçara, per a obtindre $f_{i-1}(x_0,x_1,\dots ,x_{i-1})$.

Note's també que encara que el terme inicial sempre és $x_0$, est pot ser en realitat qualsevol un atre, per eixemple, es pot definir $f_1(x_{i-1},x_i)$ de manera anàloga al cas mostrat dalt.

Definició del polinomi

Una volta coneixem la pendent, ya és possible definir el polinomi de grau $n$ de manera també recursiva:

• $p_0(x)=f_0(x_0)=y_0$. Es definix aixina ya que este valor és l'únic que s'ajusta a la seqüència original per al primer terme.
• $p_1(x)=p_0(x)+f_1(x_0,x_1)*(x-x_0)$.
• $p_2(x)=p_1(x)+f_2(x_0,x_1,x_2)*(x-x_0)*(x-x_1)$.

En general:

$p_i(x)=p_{i-1}(x)+f_i(x_0,x_1,\dots ,x_{i-1},x_i)\prod _{j=0}^{i-1}(x-x_j)$