Integral de la secante cúbica

La integral de la secante cúbica donada per

$\int {\sec }^3(x)dx=\frac{\sec (x)\tan (x)+\ln |\sec (x)+\tan (x)|}{2}+C$

és una integral freqüent i desafiant en Càlcul Integral.

Hi ha vàries raons per les que esta integral en particular és digna per a prestar-li atenció:

• La tècnica utilisada per a reduir integrals en potències impars grans a potències més chicotetes es presenta en este cas, el més senzill. Els atres casos es fan de manera similar.
• La funcions hiperbòliques en integració poden ser utilisades en casos en els que la potència de la secante siga impar.
• Esta és una de vàries integrals que normalment pot fer un estudiant d'un primer curs de càlcul en el que la manera més natural d'integrar és procedint pel método d'integració per parts i retornant a l'integral en la que un va escomençar.
• Esta integral és molt utilisada en evaluar qualsevol integral de la forma

$\int \sqrt{a^2+x^2}dx$

a on $a\in ℝ$ és una constant.

Càlcul

Integració per Parts

L'integral de la secante cúbica pot ser trobada pel método d'integració per parts, en un principi es considera l'igualtat:

$\int {\sec }^3(x)dx=\int \sec (x){\sec }^2(x)dx$

I es procedix pel método d'integració per parts considerant que

$\begin{array}{cccc}u& =\sec x& dv& ={\sec }^2(x)dx\\ du& =\sec (x)\tan (x)dx& v& =\tan (x)dx\end{array}$

Llavors

$\begin{array}{cc}\int {\sec }^3(x)dx& =\int \sec (x){\sec }^2(x)dx\\ & =\sec (x)\tan (x)-\int \sec (x){\tan }^2(x)dx\\ & =\sec (x)\tan (x)-\int \sec (x)[{\sec }^2(x)-1]dx\\ & =\sec (x)\tan (x)-\int {\sec }^3(x)dx+\int \sec (x)dx\end{array}$

Si sumim $\int {\sec }^3(x)dx$ a abdós costats de l'igualtat i ya que

$\int \sec (x)dx=\ln |\sec (x)+\tan (x)|+C$

obtenim

$\begin{array}{cc}2\int {\sec }^3(x)dx& =\sec (x)\tan (x)+\ln |\sec (x)+\tan (x)|+C\\ \int {\sec }^3(x)dx& =\frac{\sec (x)\tan (x)+\ln |\sec (x)+\tan (x)|}{2}+C\end{array}$

Per lo tant

$\int {\sec }^3(x)dx=\frac{\sec (x)\tan (x)+\ln |\sec (x)+\tan (x)|}{2}+C$

Reducció a una integral d'una funció racional

Considerem que

$\begin{array}{cc}\int {\sec }^3(x)dx& =\int \frac{dx}{{\cos }^3(x)}\\ & =\int \frac{\cos x}{{\cos }^4(x)}dx\\ & =\int \frac{\cos x}{(1-{\sin }^2(x){)}^2}dx\\ & =\int \frac{du}{(1-u^2{)}^2}\end{array}$

a on $u=\mathrm{sen}x$, de modo que $du=\cos xdx$.

Esta substitució admet una descomposició per fraccions parcials com seguix

$\begin{array}{cc}\frac{1}{(1-u^2{)}^2}& =\frac{1}{(1+u{)}^2(1-u{)}^2}\\ & =\frac{1/4}{1+u}+\frac{1/4}{(1+u{)}^2}+\frac{1/4}{1-u}+\frac{1/4}{(1-u{)}^2}\end{array}$

llavors

$\begin{array}{cc}\int {\sec }^3(x)dx& =\int \frac{du}{(1-u^2{)}^2}\\ & =\int (\frac{1/4}{1+u}+\frac{1/4}{(1+u{)}^2}+\frac{1/4}{1-u}+\frac{1/4}{(1-u{)}^2})du\end{array}$

Si utilisem linealidad de l'integral llavors

$\begin{array}{cc}\int {\sec }^3(x)dx& =\int (\frac{1/4}{1+u}+\frac{1/4}{(1+u{)}^2}+\frac{1/4}{1-u}+\frac{1/4}{(1-u{)}^2})du\\ & =\frac{1}{4}\ln |1+u|-\frac{1/4}{1+u}-\frac{1}{4}\ln |1-u|+\frac{1/4}{1-u}+C\\ & =\frac{1}{4}\ln \left|\frac{1+u}{1-u}\right|+\frac{1}{2}\left(\frac{u}{1-u^2}\right)+C\\ & =\frac{1}{4}\ln \left|\frac{1+\mathrm{sen}x}{1-\mathrm{sen}x}\right|+\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{sen}x}{{\cos }^{2}x}\right)+C\\ & =\frac{1}{4}\ln \left|\frac{1+\mathrm{sen}x}{1-\mathrm{sen}x}\right|+\frac{1}{2}\sec x\tan x+C\\ & =\frac{1}{4}\ln \left|\frac{(1+\mathrm{sen}x{)}^2}{1-{\mathrm{sen}}^{2}x}\right|+\frac{1}{2}\sec x\tan x+C\\ & =\frac{1}{4}\ln \left|\frac{(1+\mathrm{sen}x{)}^2}{{\cos }^{2}x}\right|+\frac{1}{2}\sec x\tan x+C\\ & =\frac{1}{4}\ln {\left|\frac{1+\mathrm{sen}x}{\cos x}\right|}^2+\frac{1}{2}\sec x\tan x+C\\ & =\frac{1}{2}\ln \left|\frac{1+\mathrm{sen}x}{\cos x}\right|+\frac{1}{2}\sec x\tan x+C\\ & =\frac{1}{2}(\ln |\sec x+\tan x|+\sec x\tan x)+C.\end{array}$

Funcions hiperbòliques

Integrals de la forma

$\int {\sec }^n(x){\tan }^m(x)dx$

en $m,n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ poden ser reduïdes utilisant l'identitat trigonométrica ${\sec }^2(x)-{\tan }^2(x)=1$ si $n$ és parell o $n$ i $m$ són abdós impars. Si $n$ és impar i $m$ és parell, les substitucions hiperbòliques solen ser usades per a evitar l'us del método d'integració per parts, per a aixina només reduir potències de funcions hiperbòliques.

Ya que

$\begin{array}{cc}\sec (x)& =\cosh (u)\\ \tan (x)& =\sinh (u)\\ \end{array}$

llavors

$\begin{array}{cc}{\sec }^{2}xdx& =\cosh udu\text{ or }\sec x\tan xdx=\sinh udu\\ \sec xdx& =du\text{ or }dx=\mathrm{sech}udu\\ u& =\mathrm{arcosh}(\sec x)=\mathrm{arsinh}(\tan x)=\ln |\sec x+\tan x|\end{array}$

Note's que $\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|$ se seguix directament d'esta substitució.

$\begin{array}{cc}\int {\sec }^3(x)dx& =\int {\cosh }^2(u)du\\ & =\frac{1}{2}\int (\cosh 2u+1)du\\ & =\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\sinh 2u+u)+C\\ & =\frac{1}{2}(\sinh u\cosh u+u)+C\\ & =\frac{1}{2}(\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x|)+C\\ \end{array}$

Potències impars més grans

Si es desija calcular

$\int {\sec }^{2k+1}(x)dx$

per a $k\ge 2$ en $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$, se seguix un procés similar al càlcul de l'integral de la secante cúbica, és dir, s'utilisa integració per parts per a reduir la potència, l'únic problema és que si per eixemple, desigem calcular l'integral de la secante elevada a la quinta potència, en un moment necessitarem calcular l'integral de la secante cúbica.

Eixemple

Es desija calcular

$\int {\sec }^5(x)dx$

Comencem considerant que

$\int {\sec }^5(x)dx=\int {\sec }^3(x){\sec }^2(x)dx$

I procedim pel método d'integració per parts considerant que

$\begin{array}{cccc}u& ={\sec }^3(x)& dv& ={\sec }^2(x)dx\\ du& =3{\sec }^3(x)\tan (x)dx& v& =\tan (x)dx\end{array}$

Llavors

$\begin{array}{cc}\int {\sec }^5(x)dx& =\int {\sec }^3(x){\sec }^2(x)dx\\ & ={\sec }^3(x)\tan (x)-3\int {\sec }^3(x){\tan }^2(x)dx\\ & ={\sec }^3(x)\tan (x)-3\int {\sec }^3(x)[{\sec }^2(x)-1]dx\\ & ={\sec }^3(x)\tan (x)-3\int {\sec }^5(x)dx+3\int {\sec }^3(x)dx\\ 4\int {\sec }^5(x)dx& ={\sec }^3(x)\tan (x)+3\left(\frac{\sec (x)\tan (x)+\ln |\sec (x)+\tan (x)|}{2}\right)+C\\ \int {\sec }^5(x)dx& =\frac{{\sec }^3(x)\tan (x)}{4}+\frac{3(\sec (x)\tan (x)+\ln |\sec (x)+\tan (x)|)}{8}+C\end{array}$

Fòrmules de Reducció

Un pot demostrar utilisant integració per parts que la fòrmula de reducció per a la funció secante està donada per:

$\int {\sec }^n(x)dx=\frac{{\sec }^{n-2}(x)\tan (x)}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int {\sec }^{n-2}(x)dx$

per a $n\ge 2$ o alternativament

$\int {\sec }^n(x)dx=\frac{{\sec }^{n-1}(x)\mathrm{sen}(x)}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int {\sec }^{n-2}(x)dx$

Vore també

• Llistad'integrals
• Métodos d'integració
• Substitució Trigonométrica

Referències

1. Stewart, James (2012). "Section 7.2: Trigonometric Integrals". Calculus - Early Transcendentals. United States: Cengage Learning. pp. 475–6. ISBN 978-0-538-49790-9.
2. Spivak, Michael (2008) “Integració en térmens elementals” Calculus, p. 382