Grupoide de Lie

Un grupoide de Lie és un grupoide a on abdós, el grupoide i l'espai base són varietats i les funciones orige i final són funciones diferenciables que la seua diferencial és suryectiva, és dir són sumersiones suryectivas. Esta definició generalisa la de grup de Lie: els grups de Lie són els grupoides de Lie a on l'espai base és trivial.

Definició

• Un grupoide de Lie és un $G$ grupoide en base $M$ tal que
  • $G$, $M$ són varietats diferencials.
  • $s,t:G\to M$, les aplicacions orige i final, són sumersiones sobreyectivas.
  • $1:M\to G$, l'aplicació unitat, és diferenciable.
  • La multiplicació $G*G\to G$ és diferenciable.

Observar que si denotem ${\Delta }_M$ la diagonal de $M$, llavors $G*G=(s\times t{)}^{-1}({\Delta }_M)$. Com $s\times t$ és una sumersión suryectiva, pel teorema de la funció inversa obtenim que $G*G$ és una subvariedad incrustada i tancada de $G\times G$ i hereta la seua estructura diferenciable. Açò nos diu que té sentit parlar de que el producte o multiplicació és diferenciable.

Eixemples

• Siga $(E,q,M)$ un fibrado vectorial i $\Phi (E):=\{\xi :E_x\to E_y/x,y\in M,\xi$ és llineal $\}$, és dir totes les transformacions llineals entre fibres. Si $\xi :E_x\to E_y\in \Phi$, definim $s(\xi )=x$, l'orige de $\xi$ i $t(\xi )=y$, el destí de $\xi$. Clarament $s,t:\Phi \to M.$ Si $\xi ,\eta \in \Phi (E)$, la composició $\eta \xi$ només té sentit si $t(\xi )=s(\eta )$. Si es definix $\Phi (E)*\Phi (E):=\{(\eta ,\xi )\in \Phi (E)\times \Phi (E):t(\xi )=s(\eta )\}$ Llavors existix un producte $\Phi (E)*\Phi (E)\to \Phi (E)$ definit com dalt. D'esta forma $\Phi (E)$ és un grupoide en base $M$, a on $s,t$ són les aplicacions orige i final, respectivament i l'identitat és l'isomorfisme identitat en cada fibra.

• Siga $M$ una varietat diferenciable i $G$ un grup de Lie. Llavors el grupoide trivial $M\times G\times M\rightrightarrows M$ és un grupoide de Lie.