Funcions màxim i mínim

La funció màxim és una funció definible en tot conjunt completament ordenat que assigna a cada n-tupla de valors el màxim de dits valors. Análogamente es definix la funció mínim com el menor dels elements d'un cert conjunt.

Definició formal

Donat un conjunt completament ordenat $A$ i una colecció $𝒞$ de subconjunts finitos de no buits $(\varnothing \notin 𝒞)$, es definix la funció màxim:

En alguns casos no és necessari restringir la definició anterior a conjunts finitos. Donat un conjunt totalment ordenat i una colecció de conjunts $𝒞$ tal que para tot $S\in 𝒞$ existix un element màxim es pot estendre la funció anterior a conjunts no necessàriament finitos:

Donada una funció $f:A\to B$, sent $B$ un conjunt totalment ordenat freqüentment es definie una variant de funció màxim relacionada en les definicions anteriors:

Estes definicions s'estenen de manera simple, per a definir una funció mínim per a conjunts totalment ordenats. Les dos últimes requerixen l'existència d'un element mínim para tot conjunt de $𝒞$.

Número real

Els número real són un conjunt totalment ordenat (i per tant tots els seus subconjunts també ho són). Açò permet definir les funcions màxim i mínim sobre conjunts finitos de número real.

Si un conjunt de número real és infinit és ademés un conjunt compacte es poden definir sobre ell les funcions màxim sobre subconjunts de dit conjunt (que involucren trobar el màxim d'un conjunt no finit). Açò significa que si considera la següent colecció de conjunts:

La funció màxim està ben definida sobre dita colecció de conjunts que inclou conjunts infinits encara que tots acotats, pel teorema de Heine-Borel. Per a conjunts no compactes pero acotats pot definir-se una funció real, cridada funció suprem:

a on $\overline{A}$ és la clausura topològica de $A$. Análogamente la funció ínfim es definix com:

Per a conjunts no acotats de número real es poden definir funcions suprem i ínfim pero el seu recorregut serà $ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }\}$.

Propietats

Les funcions màxims i mínim sobre els número real tenen les següents propietats:

• Monotonia: $A\subset B\Rightarrow \max (A)\le \max (B)$ $\wedge$ $\min (B)\le \min (A)$
• $\max \{x_1,\dots ,x_n\}=-\min \{-x_1,\dots ,-x_n\}$
• $\max \{a,b\}=\frac{a+b+|a-b|}{2}$
• $\min \{a,b\}=\frac{a+b-|a-b|}{2}$
• $|x|=\max \{x,-x\}$
• Image per funcions: $f(\max A)\le \max [f(A)]$ (l'igualtat es dona per a funcions monòtones creixents quan A és compacte), $\min [f(A)]\le f(\min A)$

Referències

Bibliografia

• Apostol, Tom M. Anàlisis Matemàtic (Mathematical Analysis), trad., ed. Reverté S. A. 1976.
• Apostol, Tom M. Cálculus Volum 1 i 2(Calculus), trad., ed. Reverté S.A. 1984.
• Bartle, Robert G. Introducció a l'Anàlisis Matemàtic (The Elements of Real Analysis), trad., ed. Limusa S.A. 1982.
• Bartle et al. Introducció a l'Anàlisis Matemàtic d'una Variable (Introduction to Real Analysis), trad., ed. Limusa S.A. 2009.