Fòrmula de Murakami-Yano

En geometria, la fòrmula de Murakami-Yano, introduïda per Murakami y Yano (2005), permet calcular el volum d'un tetraedre definit en l'espai hiperbòlic o en l'espai esfèric, a partir del valor dels seus sis ànguls diedros.

Expressió matemàtica

Siga $T(A,B,C,D,E,F)$ un tetraedre hiperbòlic compacte, en ànguls diedros $A,B,C,D,E,F$, ordenats de manera que $A,B,C$ rodegen a un vèrtiç, i $D,E,F$ són els ànguls respectivament oposts a $A,B,C$. Llavors, el volum del tetraedre hiperbòlic $T=T(A,B,C,D,E,F)$, es pot obtindre per mig de la fòrmula:

a on $z_1$ i $z_2$ són els llímits de l'integral, donats per:

$z_1={\tan }^{-1}\frac{k_2}{k_1}-{\tan }^{-1}\frac{k_4}{k_3}$

$z_2={\tan }^{-1}\frac{k_2}{k_1}+{\tan }^{-1}\frac{k_4}{k_3}$

sent

$k_1=-(\cos S+\cos (A+D)+\cos (B+E)+\cos (C+F)+\cos (D+E+F)+\cos (D+B+C)+\cos (A+E+C)+\cos (A+B+F))$

$k_2=\sin S+\sin (A+D)+\sin (B+E)+\sin (C+F)+\sin (D+E+F)+\sin (D+B+C)+\sin (A+E+C)+\sin (A+B+F)$

$k_3=2(\sin A\sin D+\sin B\sin E+\sin C\sin F)$

$k_4=\sqrt{k_1^2+k_2^2-k_3^2}$

i

$S=A+B+C+D+E+F$

• Observació 1: les sumes $V_1=A+B+C$; $V_2=A+E+F$; $V_3=B+D+F$; $V_4=C+D+E$ en el numerador i $H_1=A+B+D+E$; $H_2=A+C+D+F$; $H_3=B+C+E+F$ en el denominador tenen una interpretació geomètrica senzilla: els primers térmens són les sumes dels ànguls diedros en els vèrtiços de $T$, i els segons són les sumes dels ànguls a lo llarc dels cicles hamiltonianos de $T$.

• Observació 2: els llímits $z_1$ i $z_2$ de l'integral satisfan l'equació $k_1\cos z+k_2\sin z=k_3$, i $k_4^2=-4\det (G)$, a on $G$ és la matriu de Gram de $T$. Els valors de $z_1$ i $z_2$ són els paràmetros de la partició d'un octaedre ideal en quatre tetraedres ideals en una aresta en comuna. L'octaedre està canónicamente determinat per $T$, i els seus ànguls diedros són combinacions llineals dels de $T$.

Bibliografia

• «On the volume of a hyperbolic and spherical tetrahedron».Communications in Analysis and Geometry.13(2)

379–400.ISSN 1019-8385.Consultat el 10 de febrer de 2012. url=http://www.f.waseda.jp/murakami/papers/tetrahedronrev4.pdf