Equació recíproca

En àlgebra equació recíproca es diu a l'equació polinòmica $P(x)=0$ en la que si $s$ distint de zero, és una solució, llavors també ho serà $\frac{1}{s}$.

Desplegant

Açò implica que en reemplaçar x per 1/x en l'equació proposta, i eliminar els denominadors, s'obté la mateixa equació, açò és:

$P(x{)}_{}^{}=$ $a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}{x}^1+a_n{x}^0=0$

llavors es verifica:

a_k = a_n-k per a k = 0, 1,...,n.

Equació cuártica recíproca

No obstant, en el cas de l'equació algebraica de quart grau del tipo

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$es denomina recíproca (i diferent de 0), si existix un número α ≠ 0 tal que, entre els coeficients de l'equació a, b. c, d, i hagen les relacions $d=\alpha b,e={\alpha }^{2}a.$

Amprant la substitució $x+\frac{\alpha }{x}=y,$ despuix de dividir entre x² l'equació original, i tenint en conte que $x^2+\frac{{\alpha }^2}{x^2}=y^2-2\alpha$ s'obté una equació quadràtica respecte a i:

$a{y}^2+by+cy-2\alpha a=0$.

la que dona dos raïls de i, que permet estructurar dos equacions de segon grau en x

$x^2-y_{1}x+\alpha =0$ $x^2-y_{2}x+\alpha =0$

a on i₁ i i₂ són raïls de l'equació quadràtica en i (1).

Casos d'equació cuártica recíproca

Equació simètrica

Quan α = 1, en el cas de l'equació cuártica recíproca, resulta

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+bx+a=0$

, els coeficients dels térmens equidistants del terme quadràtic són idèntics

Equació antisimètrica

Assumint que α = -1, dona com a resultat

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2-bx+a=0$

, la que es coneix com a equació antisimètrica de quart grau. Els coeficients dels térmens de grau impar són oposts.

Vore també

• Equació diofántica
• Equacions cuárticas
• Equacions quadràtiques

Bibliografia

Lehmann H., Charles:(1969) Àlgebra; Editorial Limusa-Wiley, S.A. Mèxic, D.F.