Equació de la nana blanca de Chandrasekhar

En astrofísica, la equació de la nana blanca de Chandrasekhar és una equació diferencial ordinària de valor inicial introduïda per l'astrofísic nortamericà d'orige indi Subrahmanyan Chandrasekhar, en el seu estudi del potencial gravitatorio d'estreles nanes blanques completament degeneradas. L'equació és la següent

$$\frac{1}{{\eta }^2}\frac{d}{d\eta }\left({\eta }^2\frac{d\phi }{d\eta }\right)+({\phi }^2-C{)}^{3/2}=0$$

en condicions inicials

$$\phi (0)=1,{\phi }^{\prime }(0)=0$$

on $\phi$ representa la densitat de la nana blanca, $\eta$ és la distància radial adimensional des del centre i $C$ és una constant que està relacionada en la densitat de la nana blanca en el centre. El llímit $\eta ={\eta }_{\mathrm{\infty }}$ de l'equació està definida per la condició

$$\phi ({\eta }_{\mathrm{\infty }})=\sqrt{C}.$$

tal que el ranc de $\phi$ és $\sqrt{C}\le \phi \le 1$ . Esta condició equival a dir que la densitat es torna nula en $\eta ={\eta }_{\mathrm{\infty }}$ .

Obtenció de l'equació

A partir de l'estadística quàntica d'un gas d'electrons completament degenerado (açò és, aquell en el que tots els estats quàntics de mínima energia estan ocupats), la pressió i la densitat d'una nana blanca s'obtenen en térmens del moment màxim dels electrons $p_0$, Definint $x=p_0/mc$, la pressió i la densitat del gas són $P=Af(x)$ i $\rho =B{x}^3$, respectivament, a on

$$\begin{array}{cc}& A=\frac{\pi m_e^4{c}^5}{3h^3}=6.02\times 10^{21}\text{ Pa},\\ & B=\frac{8\pi }{3}{m}_p{\mu }_e{\left(\frac{m_{e}c}{h}\right)}^3=9.82\times 10^8{\mu }_e{\text{ kg/m}}^3,\\ & f(x)=x(2x^2-3)(x^2+1{)}^{1/2}+3{\sinh }^{-1}x,\end{array}$$

a on ${\mu }_e$ és el pes molecular mig del gas, i $h$ és l'altura d'una chicoteta gaveta de gas en només dos estats possibles.

Substituint açò en l'equació d'equilibri hidrostàtic

$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(\frac{r^2}{\rho }\frac{dP}{dr}\right)=-4\pi G\rho$$

on $G$ és la constant de gravitació universal i $r$ és la distància radial, obtenim

$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{d\sqrt{x^2+1}}{dr}\right)=-\frac{\pi G{B}^2}{2A}{x}^3$$

i definint $y^2=x^2+1$, tenim

$$\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dy}{dr}\right)=-\frac{\pi G{B}^2}{2A}(y^2-1{)}^{3/2}$$

Si denotem la densitat en l'orige com ${\rho }_o=B{x}_o^3=B(y_o^2-1{)}^{3/2}$, podem definir una escala adimensional

$$r={\left(\frac{2A}{\pi G{B}^2}\right)}^{1/2}\frac{\eta }{y_o},y=y_o\phi$$

tal que

$$\frac{1}{{\eta }^2}\frac{d}{d\eta }\left({\eta }^2\frac{d\phi }{d\eta }\right)+({\phi }^2-C{)}^{3/2}=0$$

on $C=1/y_o^2$ . En atres paraules, una volta resolta l'equació anterior, la densitat és

$$\rho =B{y}_o^3{({\phi }^2-\frac{1}{y_o^2})}^{3/2}.$$

Podem llavors calcular la massa interior dins del radi adimensional $\eta$,

$$M(\eta )=-\frac{4\pi }{B^2}{\left(\frac{2A}{\pi G}\right)}^{3/2}{\eta }^2\frac{d\phi }{d\eta }.$$

La relació radi-massa de les nana blanca sol representar-se en el pla ${\eta }_{\mathrm{\infty }}$ - $M({\eta }_{\mathrm{\infty }})$ .

Solució prop de l'orige

En un entorn de l'orige, $\eta \ll 1$, Chandrasekhar va obtindre una expansió asintòtica, donada per

$$\begin{array}{cc}\phi =& 1-\frac{q^3}{6}{\eta }^2+\frac{q^4}{40}{\eta }^4-\frac{q^5(5q^2+14)}{7!}{\eta }^6\\ & +\frac{q^6(339q^2+280)}{3\times 9!}{\eta }^8-\frac{q^7(1425q^4+11346q^2+4256)}{5\times 11!}{\eta }^{10}+\cdots \end{array}$$

a on $q^2=C-1$ . També va obtindre solucions numèriques en el ranc $C=0.01-0.8$ .

Vore també

• Equació de Tolman-Oppenheimer-Volkoff
• Llímit de Chandrasekhar